Pontos e rectas em planos oblíquos

A: Pontos e rectas pertencentes a planos oblíquos

Estes exercícios integram o conjunto de exames nacionais de Geometria Descritiva, organizados por temas pela Professora Vera Viana, com a colaboração da Professora Markéta Jakoubková nos exames mais antigos e na Época Especial. Para mais informações gerais sobre o projeto e sobre o acesso aos enunciados e propostas de resolução, consulte a página principal de exercícios.

EXERCÍCIO 24.	Recta pertencente a dois planos oblíquos	GD-A 708	2025, 1ª Fase
EXERCÍCIO 23.	Recta pertencente a um plano oblíquo	GD-A 708	2024, 2ª Fase
EXERCÍCIO 22.	Traços de dois planos oblíquos nos planos de projecção	GD-A 708	2022, 2ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	GD-A 708	2020, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 19.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 1ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 17.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 409	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 409	2003, 1ª F. 2ª Ch.
EXERCÍCIO 14.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2003, 1ª F. 2ª Ch.
EXERCÍCIO 13.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2003, 1ª F. 1ª Ch.
EXERCÍCIO 12.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	2002, 1ª F. 2ª Ch.
EXERCÍCIO 09.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 1ª F. 2ª Ch.
EXERCÍCIO 08.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2002, 1ª F. 1ª Ch.
EXERCÍCIO 07.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 06.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 1ª F. 1ª Ch.
EXERCÍCIO 05.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2000, 1ª F. 2ª Ch.
EXERCÍCIO 04.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	1999, P. Modelo
EXERCÍCIO 03.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	1998, 1ª F. 1ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	1997, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	1997, 1ª F. 2ª Ch.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 24 – 2025, 1.ª Fase (código 708)
Determine os traços dos planos α e δ nos planos de projeção.

Dados:

• a reta r é perpendicular ao plano α e é uma das retas de maior inclinação do plano δ;
• a reta r pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13, e contém o ponto A (0; 4; 4);
• a projeção frontal da reta r define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• o ponto A é o ponto de intersecção da reta r com o plano α.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 23 – 2024, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta a contida no plano δ.

Dados:

• o plano δ é definido pelos pontos R (5; 3; 0), S (0; 0; 0) e T (− 3; 1; 7);
• a recta a é definida pelos pontos X e Y, resultantes da intersecção, respetivamente, das rectas r e t com o plano δ;
• a recta r contém o ponto M do eixo x, com − 6 de abcissa, e as suas projecções horizontal e frontal definem ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• a recta t, de topo, tem zero de abcissa e − 6 de cota

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 22 – 2022, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços nos planos de projecção dos planos α e δ.

Dados:

• a recta i é comum aos dois planos e contém o ponto P (0; 3; 5);
• as projecções horizontal e frontal da recta i definem, respectivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
• o plano α contém o ponto M, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, com 7 de abcissa e 4 de afastamento;
• o plano δ contém o ponto N, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, com – 3 de abcissa e 2 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 21 – 2020, 1.ª Fase (código 708)
Represente os traços dos planos α e θ nos planos de projecção.

Dados:

• a recta i, de perfil, pertencente ao bissector dos diedros pares, β₂₄, é comum aos dois planos;
• o ponto P, com zero de abcissa e 5 de cota, pertence à recta i;
• o ponto A (-6; 5; 2) pertence ao plano α;
• o traço frontal do plano θ define um ângulo de 70º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 20 – 2006, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo β.

Dados:

• β contém a recta frontal f;
• f contém o ponto A (– 2; 3; 3);
• a projecção frontal da recta f faz um ângulo de 45º com o eixo x de abertura para a direita;
• os traços do plano β intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;
• o ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 19 – 2005, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α contém o ponto A (– 2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;
• o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a esquerda);
• o ponto P pertence ao plano horizontal de projecção e tem 3 de afastamento.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 18 – 2004, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta horizontal h, contida no plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α é definido pelos pontos F (3; 0; 5), H (3; 2; 0) e P;
• o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares;
• a recta h intersecta o plano frontal de projecção num ponto, F, com 2 de abcissa.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 17 – 2004, 1.ª Fase (código 409)
Determine os traços do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α contém as rectas r e s, concorrentes no ponto N (7; 0; 0);
• a recta r contém o ponto R (0; 3; 4);
• o ponto S (0; 6; 2) pertence a recta s.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 16 – 2003, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta d, contida no plano oblíquo α.

Dados:

• o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
• o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
• a recta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e é uma das rectas de maior declive do plano α.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 15 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine os traços do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (– 3; 2; 3);
• a recta f contém o ponto B (– 7; 5; – 5) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 14 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções da recta r, contida no plano oblíquo α.

Dados:

• os traços do plano α intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
• a recta r contém o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;
• a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a direita).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 13 – 2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine asprojecções do ponto Q, contido no plano oblíquo β.

Dados:

• o plano β contém a recta r, definida pelos pontos Hr (5; – 4; 0) e P (0; 1; 2);
• o traço frontal do plano β faz um ângulo de 60° (de abertura para a direita) com o eixo x;
• o ponto Q é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares, com 5 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 12 – 2002, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α é definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo seu traço horizontal;
• o traço horizontal faz um ângulo de 45º (com abertura para a direita) com o eixo x, intersectando-o num ponto X, com 7 de abcissa;
• o ponto I pertence ao bissector dos diedros pares e tem 2 de abcissa.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 11 – 2002, 2.ª Fase (código 109)
Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α é definido pela recta frontal f e pelo ponto X (5; 0; 0);
• a recta f contém o ponto A (– 5; – 8; 4) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
• o ponto I tem – 2 de afastamento e 2 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 10 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano oblíquo α é definido por três pontos, A, B e C;
• os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros ímpares;
• A tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
• B tem abcissa nula e 4 de cota;
• o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 4 de abcissa e 4 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 09 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano α com o eixo x, sabendo que α é definido pelos pontos A (0; 7; – 2), B (4; – 8; 8) e C (– 4; 4; 2).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 08 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine as projecções da recta n, contida no plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α é definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela recta r;
• a recta r contém os pontos B (0; 5; – 5) e C (– 4; – 4; 4);
• a recta n é horizontal e é concorrente com a recta r no ponto C.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 07 – 2001, 2.ª Fase (código 109)
Determine o ponto Q, pertencente ao plano oblíquo β.

Dados:

• o plano oblíquo β é definido pelo ponto X, do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma recta horizontal n;
• a recta n contém o ponto A (– 2; 4; 3) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita;
• o ponto Q pertence ao bissector dos diedros ímpares e tem 6 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 06 – 2001, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções da recta horizontal n do plano oblíquo α.

Dados:

• o plano oblíquo α contém uma recta r;
• a recta r é definida pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo ponto B, com – 4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao plano bissector dos diedros pares;
• o traço frontal do plano α faz, com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda;
• a recta horizontal n contém o ponto A.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 05 – 2000, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do ponto P contido no plano oblíquo β.

Dados:

• o plano oblíquo β é definido por um ponto X e pela recta horizontal n;
• o ponto X pertence ao eixo x e tem – 2 de abcissa;
• a recta horizontal n contém o ponto A (0; 4; 6) e faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 45º de abertura para a direita;
• o ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 04 – 1999, Prova Modelo (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo α que contém as rectas r e s, concorrentes no ponto Q, do eixo x de abcissa nula, que contêm, respetivamente, os pontos R (– 2; – 2; 2) e S (– 9; 3; 3).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 03 – 1998, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de uma recta frontal f contida num plano oblíquo β.

Dados:

• o plano oblíquo β contém o ponto P (– 6; 1; – 6) e uma recta horizontal n;
• a recta horizontal faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita, intersectando-o no ponto F, com abcissa nula e 4 de cota;
• a recta frontal f tem 3 de afastamento.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 02 – 1997, 2.ª Fase (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo α definido pelo ponto A (– 4; 2; 8) e pela recta de perfil de B (0; – 2; 8) e C (0; 8; – 2).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 01 – 1997, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de uma recta horizontal h pertencente a um plano oblíquo α.

Dados:

• o plano α contém uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (– 7; 5; 6) e faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o plano horizontal de projecção;
• o plano intersecta o eixo x num ponto X, com abcissa 4;
• a recta horizontal tem 2 de cota.