04 | Intersecção de uma recta com um plano

Estes exercícios integram o conjunto de exames nacionais de Geometria Descritiva, organizados por temas pela Professora Vera Viana, com a colaboração da Professora Markéta Jakoubková nos exames mais antigos e na Época Especial. Para mais informações gerais sobre o projeto e sobre o acesso aos enunciados e propostas de resolução, consulte a página principal de exercícios.

EXERCÍCIO 30.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano de rampa	GD-A 708	2025, 2ª Fase
EXERCÍCIO 29.	Intersecção de uma recta passante com um plano oblíquo	GD-A 708	2025, 1ª Fase
EXERCÍCIO 28.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano oblíquo	GD-A 708	2024, 1ª Fase
EXERCÍCIO 27.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	GD-A 708	2023, 1ª Fase
EXERCÍCIO 26.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano bissector	GD-A 708	2022, 1ª Fase
EXERCÍCIO 25.	Intersecção de uma recta fronto-horizontal com um plano oblíquo	GD-A 708	2021, 2ª Fase
EXERCÍCIO 24.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD-A 708	2020, 2ª Fase
EXERCÍCIO 23.	Intersecção de uma recta frontal com um plano oblíquo	GD-A 708	2019, 1ª Fase
EXERCÍCIO 22.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD-A 708	2016, 1ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	GD-A 708	2013, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	GD-A 708	2011, Época Especial
EXERCÍCIO 19.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano de rampa	GD-A 708	2008, 1ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano de rampa	GD-A 708	2007, 1ª Fase
EXERCÍCIO 17.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	DGD-B 409	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 1ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 2ª Fase
EXERCÍCIO 14.	Intersecção de uma recta frontal com um plano oblíquo	DGD-B 409	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 13.	Intersecção de uma recta vertical com um plano de rampa	DGD-B 109	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 12.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano de rampa	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 11.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 10.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 09.	Intersecção de uma recta frontal com um plano de rampa	DGD-B 409	2002, Prova Modelo
EXERCÍCIO 08.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 07.	Intersecção de uma recta vertical com um plano de rampa	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 06.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 05.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano oblíquo	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 04.	Intersecção de uma recta passante com um plano oblíquo	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 03.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 109	1996, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 02.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD 121	1982, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano de rampa	GD 121	1982, 1ª Fase, 1ªCh.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 30 – 2025, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta h com o plano de rampa δ.
Dados:

• o plano δ contém o ponto A (0; 2; 9) e define um diedro de 60º com o plano horizontal de projecção;
• o traço horizontal do plano tem afastamento negativo;
• a recta h é horizontal e contém o ponto M, do plano bissector dos diedros pares, β24, com zero de abcissa e
  5 de afastamento;
• a recta h define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 29 – 2025, 1.ª Fase (código 708)
Determine os traços dos planos α e δ nos planos de projecção.
Dados:

• a recta r é perpendicular ao plano α e é uma das rectas de maior inclinação do plano δ;
• a recta r pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13, e contém o ponto A (0; 4; 4);
• a projecção frontal da recta r define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• o ponto A é o ponto de intersecção da recta r com o plano α.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 28 – 2024, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta p com o plano α.

Dados:

• o plano α contém o ponto A, com 3 de abcissa e 3 de afastamento, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares, β₁₃;
• os traços horizontal e frontal do plano α são coincidentes;
• o traço horizontal do plano α define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• a recta p, de perfil, está contida no plano bissector dos diedros pares, β₂₄, e tem − 2 de abcissa

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 27 – 2023, 1.ª Fase (código 708)

Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta t com o plano α.

Dados:

• a recta recta t, de topo, tem 6 de abcissa e – 4 de cota;
• a recta recta r contém o ponto K, do eixo x, com zero de abcissa, e é uma das rectas de maior declive do plano α;
• as projecções horizontal e frontal da recta r definem, respetivamente, ângulos de 55º e de 50º, de abertura para a esquerda com o eixo x.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 26 – 2022, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta m com o plano bissector dos diedros pares, β₂₄.

Dados:

• a recta m contém o ponto N e é uma das rectas de maior declive do plano α;
• o plano α é definido pelo ponto L (– 4; 3; 4) e pela recta de perfil p;
• a recta p contém o ponto M (0; – 4; 4) e o ponto N com 7 de cota;
• a recta p define um ângulo de 35º com o plano horizontal de projecção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 25 – 2021, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta m com o plano α.

Dados:

• o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A (7; – 5; 2);
• o traço frontal do plano α define um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• a recta m com – 6 de cota é fronto-horizontal e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β₁₃

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 24 – 2020, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

• o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A do bissector dos diedros pares, β₂₄, com 3 de abcissa e 7 de cota;
• o traço horizontal do plano α define um ângulo de 65º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• a recta r pertence ao bissector dos diedros pares, β₂₄, e a sua projecção frontal define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• o ponto B (0; –7; 7) pertence à recta r.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 23 – 2019, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta f com o plano α.

Dados:

• o plano α é definido pelo ponto R (8; 0; 6) e pela recta horizontal h;
• a recta h contém o ponto S (2; 2; 3) e define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
• a recta f é frontal e contém o ponto M (0; 7; –7);
• a projecção frontal da recta f é perpendicular ao traço frontal do plano α.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 22 – 2016, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

• o plano α contém o ponto A (5; -2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
• o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º de abertura para a direita, com o eixo x;
• a recta r contém o ponto P (-7; 0; 0);
• a projecção horizontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;
• a projecção frontal da recta r é paralela ao traço frontal do plano α.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 21 – 2013, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta de topo t com o plano oblíquo δ.

Dados:

• a recta t tem – 5 de abcissa e 5 de cota;
• o plano δ está definido por duas rectas paralelas, a e b;
• a recta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
• a projecção frontal da recta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• a recta b contém o ponto N (6; 4; – 1).

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 20 – 2011, Época especial (código 708)
Determine as projecções do ponto de intersecção I, da recta oblíqua r com o plano de rampa ω.

Dados:

• a recta r contém o ponto P (− 5; 4; 1), as projecções horizontal e frontal, da recta fazem, respetivamente, ângulos de 50º e de 35º, ambos de abertura para a esquerda, com o eixo x;
• o plano ω está definido pelo ponto A (6; 3; 6) e pela recta m;
• a recta m é fronto-horizontal e as suas projecções, horizontal e frontal têm 6 de afastamento e 4 de cota, respetivamente.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 19 – 2008, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados:

• o plano ρ tem o seu traço horizontal com – 7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
• a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β₂₄).

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 18 – 2007, 1.ª Fase (código 708)
Determine o ponto de intersecção I, da recta horizontal n com o plano de rampa ρ.

Dados:

• o plano ρ é definido pelo ponto A (– 2; 2; 8) e pela recta a;
• a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β₂₄;
• a recta n contém o ponto N (– 4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 17 – 2006, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I, de intersecção da recta oblíqua r com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
• os traços horizontal e frontal do plano de rampa ρ têm, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 16 – 2005, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano oblíquo β com a recta t.

Dados:

• o plano β contém o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (– 1; 6; 2);
• a recta t é de topo, tem – 3 de abcissa e 4 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 15 – 2005, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta oblíqua r com o plano oblíquo β.

Dados:

• a recta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
• os traços do plano β intersectam o eixo x num ponto com – 2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 14 – 2004, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta frontal f com o plano oblíquo β.

Dados:

• o plano β é definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6);
• a recta a contém o ponto H (3; 3; 0) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
• a recta f contém o ponto P (– 4; 4; 2) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 13 – 2003, 2.ª Fase (código 109)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta v com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta v é vertical e contém o ponto A (2; 3; 1);
• o plano ρ contém um ponto P (– 2; 2; 4) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 12 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta h com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta h é horizontal, contém o ponto A (2; 1; 3) e faz um ângulo de 30º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda, no primeiro diedro;
• o plano ρ contém o ponto P (7; 3; 2), e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 11 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo δ.

Dados:

• a recta n é definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;
• o plano δ é definido pela recta de maior declive d;
• a recta d é definida pelos pontos H e F, que são os seus traços nos planos de projecção;
• o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;
• o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 10 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta oblíqua r contém o ponto A (– 4; 4; 2) e intersecta o plano frontal de projecção num ponto F, com abcissa nula, e as suas projecções são paralelas;
• o plano de rampa ρ contém o ponto H (– 2; – 9; 0) e tem os traços coincidentes.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 09 – 2002, Prova Modelo (código 409)
Determine o ponto de intersecção I da recta frontal f com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta f contém o ponto P (2; 4; 6) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projecção;
• o traço frontal do plano de rampa ρ tem 3 de cota;
• o plano contém um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 08 – 2001, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano oblíquo α.

Dados:

• a recta r intersecta o plano frontal de projecção no ponto F (2; 0; 5);
• as projecções da recta r fazem ambas, com o eixo x, ângulos de 30º, a projecção horizontal com abertura para a direita, e a projecção frontal com abertura para a esquerda;
• o plano oblíquo α está definido pelos seus traços nos planos de projecção e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
• o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 30º, com abertura para a direita, e o traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º, com abertura para a esquerda.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 07 – 2000, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta vertical v com o plano de rampa ρ.

Dados:

• a recta v contém o ponto P (– 2; – 2; 7);
• o plano de rampa ρ é definido pelo ponto A (2; 2; 3) e pelo seu traço horizontal, que tem 4 de afastamento.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 06 – 1999, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta de topo t com o plano oblíquo α.

Dados:

• a recta t contém o ponto P, com – 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao bissector dos diedros ímpares;
• o traço frontal do plano oblíquo α faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura à esquerda, intersectando-o num ponto X, com – 4 de abcissa;
• o plano oblíquo α contém o ponto A (4; 3; 2).

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 05 – 1998, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo α.

Dados:

• a recta n contém o ponto P (– 5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
• o plano oblíquo α contém o ponto X do eixo x, com abcissa 5, e uma recta frontal f, que passa pelo ponto S (4; 2; 3) e que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 04 – 1997, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano oblíquo α.

Dados:

• a recta r é uma recta oblíqua passante, que contém o ponto A (2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com – 4 de abcissa;
• o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x e intersecta-o num ponto X, com abcissa 4;
• o plano α contém um ponto P, do plano frontal de projecção, com – 2 de abcissa e 9 de cota.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 03 – 1996, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

• a recta r está definida pelos pontos A (0; 0; 1) e B (– 3; 5; 4);
• o traço horizontal do plano α contém os pontos M (– 3; 4; 0) e N (– 7; 0; 0);
• o traço frontal do plano α faz com o eixo x um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 02 – 1982, 2.ª Fase (código 121)
Dados os pontos A (– 2; 2; 3,5), B (– 4; 2; 5), C (– 7; – 1; 3) e D (1; 2; 4), determine as projecções do ponto de intersecção da recta s com o plano ω definido pelos pontos A, B e C.

Dados:

• a recta s contém o ponto D;
• a projecção frontal da recta s, faz com o eixo x, um ângulo de 45º de abertura para a direita e a sua projecção horizontal faz com a mesma linha, um ângulo de 60º de abertura para a direita.

Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 01 – 1982, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções do ponto I, intersecção da recta de perfil s com o plano de rampa ω.

Dados:

• o plano de rampa ω é definido pelos pontos A (0; – 1; 5), B (– 4; 5; 2) e C (– 7; – 1; 5);
• a recta de perfil s é definida pelos pontos R (– 8,5; 6; 8) e S (– 8,5; 2,5; 1).