Exercícios de GD

Esta página apresenta os exercícios dos exames nacionais de Geometria Descritiva agrupados por temas pela Professora Vera Viana (cv) desde que começou a leccionar a disciplina de Geometria Descritiva em 1998. Os exercícios dos exames mais antigos e os da Época Especial surgiram da colaboração entre a Professora Vera Viana e a Professora Markéta Jakoubková.

No seguimento das alterações à área reservada do actual site da Aproged concretizadas em 2024, e mediante a concordância das Professoras Vera Viana e Markéta Jakoubková, a Direcção da Aproged decidiu disponibilizar esta página em acesso aberto a toda a comunidade educativa, tendo em vista o superior interesse dos alunos e alunas da disciplina de Geometria Descritiva e a sua preparação para a avaliação externa.

Os enunciados dos exames nacionais podem ser consultados nesta página, enquanto que as respectivas propostas de resolução se encontram disponíveis nesta página da área reservada.

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EXERCÍCIOS DE EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA, DE 1981 A 2024	432 exercícios
A. Pontos e rectas pertencentes a planos oblíquos	23 exercícios
B. Pontos e rectas pertencentes a planos de rampa	03 exercícios
C. Intersecção de planos	21 exercícios
D. Intersecção de uma recta com um plano	28 exercícios
E. Sólidos com base(s) situada(s) em plano(s) horizontal(ais) ou frontal(ais)	38 exercícios
F. Figuras contidas em planos verticais	12 exercícios
G. Figuras contidas em planos de topo	11 exercícios
H. Pontos, rectas e figuras contidas em planos de perfil	11 exercícios
I. Sólidos com base(s) situada(s) em plano(s) vertical(ais), de topo ou de perfil	04 exercícios
J. Paralelismo de rectas e planos	11 exercícios
K. Perpendicularidade de rectas e planos	12 exercícios
L. Problemas métricos: distâncias	30 exercícios
M. Problemas métricos: ângulos	58 exercícios
N. Figuras contidas em planos oblíquos	16 exercícios
O. Figuras contidas em planos de rampa	06 exercícios
P. Figuras contidas em planos passantes	01 exercício
Q. Sólidos com base(s) situada(s) em plano(s) não projectante(s)	06 exercícios
R. Secções produzidas em sólidos	23 exercícios
S. Intersecções de rectas com sólidos	06 exercícios
T. Sombras de figuras planas	09 exercícios
U. Sombras de sólidos	48 exercícios
V. Axonometrias ortogonais	31 exercícios
W. Axonometrias clinogonais	24 exercícios

A. Pontos e rectas pertencentes a planos oblíquos

EXERCÍCIO 23.	Recta pertencente a um plano oblíquo	GD-A 708	2024, 2ª Fase
EXERCÍCIO 22.	Traços de dois planos oblíquos nos planos de projecção	GD-A 708	2022, 2ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	GD-A 708	2020, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 19.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 1ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 17.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 409	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 409	2003, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 14.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2003, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 13.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2003, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 12.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	2002, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 09.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 08.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2002, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 07.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 06.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 05.	Ponto pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	2000, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 04.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	1999, P. Modelo
EXERCÍCIO 03.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	1998, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 02.	Traços de um plano oblíquo nos planos de projecção	DGD-B 109	1997, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Reta pertencente a um plano oblíquo	DGD-B 109	1997, 1ª F. 2ªCh.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 23 – 2024, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta a contida no plano δ.

Dados:

o plano δ é definido pelos pontos R (5; 3; 0), S (0; 0; 0) e T (− 3; 1; 7);
a recta a é definida pelos pontos X e Y, resultantes da intersecção, respetivamente, das rectas r e t com o plano δ;
a recta r contém o ponto M do eixo x, com − 6 de abcissa, e as suas projecções horizontal e frontal definem ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta t, de topo, tem zero de abcissa e − 6 de cota

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 22 – 2022, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços nos planos de projecção dos planos α e δ.

Dados:

a recta i é comum aos dois planos e contém o ponto P (0; 3; 5);
as projecções horizontal e frontal da recta i definem, respectivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
o plano α contém o ponto M, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, com 7 de abcissa e 4 de afastamento;
o plano δ contém o ponto N, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, com – 3 de abcissa e 2 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 21 – 2020, 1.ª Fase (código 708)
Represente os traços dos planos α e θ nos planos de projecção.

Dados:

a recta i, de perfil, pertencente ao bissector dos diedros pares, β₂₄, é comum aos dois planos;
o ponto P, com zero de abcissa e 5 de cota, pertence à recta i;
o ponto A (-6; 5; 2) pertence ao plano α;
o traço frontal do plano θ define um ângulo de 70º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 20 – 2006, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo β.

Dados:

β contém a recta frontal f;
f contém o ponto A (– 2; 3; 3);
a projecção frontal da recta f faz um ângulo de 45º com o eixo x de abertura para a direita;
os traços do plano β intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;
o ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 19 – 2005, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo α.

Dados:

o plano α contém o ponto A (– 2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;
o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a esquerda);
o ponto P pertence ao plano horizontal de projecção e tem 3 de afastamento.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 18 – 2004, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta horizontal h, contida no plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pelos pontos F (3; 0; 5), H (3; 2; 0) e P;
o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares;
a recta h intersecta o plano frontal de projecção num ponto, F, com 2 de abcissa.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 17 – 2004, 1.ª Fase (código 409)
Determine os traços do plano oblíquo α.

Dados:

o plano α contém as rectas r e s, concorrentes no ponto N (7; 0; 0);
a recta r contém o ponto R (0; 3; 4);
o ponto S (0; 6; 2) pertence a recta s.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 16 – 2003, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta d, contida no plano oblíquo α.

Dados:

o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
a recta d contém o ponto P (– 6; 3; 4) e é uma das rectas de maior declive do plano α.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 15 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine os traços do plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (– 3; 2; 3);
a recta f contém o ponto B (– 7; 5; – 5) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 14 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções da recta r, contida no plano oblíquo α.

Dados:

os traços do plano α intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
a recta r contém o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;
a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a direita).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 13 – 2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine asprojecções do ponto Q, contido no plano oblíquo β.

Dados:

o plano β contém a recta r, definida pelos pontos Hr (5; – 4; 0) e P (0; 1; 2);
o traço frontal do plano β faz um ângulo de 60° (de abertura para a direita) com o eixo x;
o ponto Q é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares, com 5 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 12 – 2002, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo seu traço horizontal;
o traço horizontal faz um ângulo de 45º (com abertura para a direita) com o eixo x, intersectando-o num ponto X, com 7 de abcissa;
o ponto I pertence ao bissector dos diedros pares e tem 2 de abcissa.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 11 – 2002, 2.ª Fase (código 109)
Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pela recta frontal f e pelo ponto X (5; 0; 0);
a recta f contém o ponto A (– 5; – 8; 4) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
o ponto I tem – 2 de afastamento e 2 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 10 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo α.

Dados:

o plano oblíquo α é definido por três pontos, A, B e C;
os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros ímpares;
A tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
B tem abcissa nula e 4 de cota;
o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 4 de abcissa e 4 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 09 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano α com o eixo x, sabendo que α é definido pelos pontos A (0; 7; – 2), B (4; – 8; 8) e C (– 4; 4; 2).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 08 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine as projecções da recta n, contida no plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela recta r;
a recta r contém os pontos B (0; 5; – 5) e C (– 4; – 4; 4);
a recta n é horizontal e é concorrente com a recta r no ponto C.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 07 – 2001, 2.ª Fase (código 109)
Determine o ponto Q, pertencente ao plano oblíquo β.

Dados:

o plano oblíquo β é definido pelo ponto X, do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma recta horizontal n;
a recta n contém o ponto A (– 2; 4; 3) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita;
o ponto Q pertence ao bissector dos diedros ímpares e tem 6 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 06 – 2001, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções da recta horizontal n do plano oblíquo α.

Dados:

o plano oblíquo α contém uma recta r;
a recta r é definida pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo ponto B, com – 4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao plano bissector dos diedros pares;
o traço frontal do plano α faz, com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda;
a recta horizontal n contém o ponto A.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 05 – 2000, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do ponto P contido no plano oblíquo β.

Dados:

o plano oblíquo β é definido por um ponto X e pela recta horizontal n;
o ponto X pertence ao eixo x e tem – 2 de abcissa;
a recta horizontal n contém o ponto A (0; 4; 6) e faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 45º de abertura para a direita;
o ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 04 – 1999, Prova Modelo (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo α que contém as rectas r e s, concorrentes no ponto Q, do eixo x de abcissa nula, que contêm, respetivamente, os pontos R (– 2; – 2; 2) e S (– 9; 3; 3).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 03 – 1998, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de uma recta frontal f contida num plano oblíquo β.

Dados:

o plano oblíquo β contém o ponto P (– 6; 1; – 6) e uma recta horizontal n;
a recta horizontal faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita, intersectando-o no ponto F, com abcissa nula e 4 de cota;
a recta frontal f tem 3 de afastamento.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 02 – 1997, 2.ª Fase (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano oblíquo α definido pelo ponto A (– 4; 2; 8) e pela recta de perfil de B (0; – 2; 8) e C (0; 8; – 2).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS

EXERCÍCIO 01 – 1997, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de uma recta horizontal h pertencente a um plano oblíquo α.

Dados:

o plano α contém uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (– 7; 5; 6) e faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o plano horizontal de projecção;
o plano intersecta o eixo x num ponto X, com abcissa 4;
a recta horizontal tem 2 de cota.

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B. Pontos e rectas pertencentes a planos de rampa

EXERCÍCIO 03.	Traços de um plano de rampa nos planos de projecção	GD-A 708	2023, 2ª Fase
EXERCÍCIO 02.	Reta pertencente a um plano de rampa	DGD-B 109	1999, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 01.	Traços de um plano de rampa nos planos de projecção	DGD-B 109	1998, P. Modelo

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA

EXERCÍCIO 03 – 2023, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano de rampa δ nos planos de projecção.

Dados:

o plano δ contém a recta i, comum ao plano α;
o plano α é definido pelo ponto A, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, com 3 de abcissa e 4 de afastamento, e pela recta frontal f;
a recta f contém o ponto B (0; – 5; 5), e a sua projecção frontal define um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
a recta i contém o ponto B e é uma das rectas de maior inclinação do plano α.

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA

EXERCÍCIO 02 – 1999, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Represente, pelas suas projecções, a recta oblíqua r, contida no plano de rampa ρ.

Dados:

o plano de rampa ρ contém o ponto P (– 6; 3; 4) e o seu traço horizontal tem 9 de afastamento;
o traço frontal da recta r tem abcissa 4;
a projecção horizontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (abertura para a direita).

PONTOS E RETAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA

EXERCÍCIO 01 – 1998, Prova Modelo (código 109)
Determine os traços, nos planos de projecção, do plano de rampa ρ, que contém a recta oblíqua r.

Dados:

a recta r passa pelo ponto A (5; 2; 12);
a projecção horizontal da recta faz um ângulo de 45º com o eixo x, com abertura para a esquerda;
a recta r intersecta o β₁₃ no ponto Q, do terceiro diedro, com cota – 8.

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C. Intersecção de Planos

EXERCÍCIO 21.	Intersecção de três planos	GD-A 708	2021, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Intersecção de dois planos oblíquos	GD-A 708	2019, 2ª Fase
EXERCÍCIO 19.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano de rampa	GD-A 708	2011, 2ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano passante	GD-A 708	2009, 2ª Fase
EXERCÍCIO 17.	Intersecção de dois planos oblíquos	GD-A 708	2009, 1ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Intersecção de dois planos oblíquos	DGD-B 409	2006, 1ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano de rampa	GD-A 708	2006, 1ª Fase
EXERCÍCIO 14.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano vertical	DGD-B 109	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 13.	Intersecção de um plano de rampa com um plano vertical	DGD-B 109	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 12.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano horizontal	DGD-B 109	2003, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 11.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano de rampa	DGD-B 109	2003, 1ª F. 1ªCh.
EXERCÍCIO 10.	Intersecção de dois planos oblíquos	DGD-B 109	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 09.	Intersecção de um plano de rampa com um plano de topo	DGD-B 109	2002, 1ª F. 1ªCh
EXERCÍCIO 08.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano de topo	DGD-B 109	2000, 2ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Intersecção de dois planos de rampa	DGD-B 109	1999, 2ª Fase
EXERCÍCIO 06.	Intersecção de um plano de rampa com um plano horizontal	DGD-B 109	1997, P. Modelo
EXERCÍCIO 05.	Intersecção de dois planos oblíquos	DGD-B 109	1996, P. Modelo
EXERCÍCIO 04.	Intersecção de um plano oblíquo com um plano bissector	DGD-B 109	1996, 1ª F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 03.	Intersecção de dois planos de rampa	GD 121	1986, 2ª Fase
EXERCÍCIO 02.	Intersecção de um plano passante com um plano de rampa	GD 121	1982, 1º F. 2ªCh.
EXERCÍCIO 01.	Intersecção de dois planos oblíquos	GD 121	1982, 1.ª F. 2.ªCh.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 21 – 2021, 1.ª Fase (código 708)
Determine o ponto I comum aos três planos α, δ e β₂₄.

Dados:

o plano α é definido pelos seus traços e contém o ponto A (0; 6; – 3);
o traço horizontal do plano α define um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o traço frontal do plano α define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o plano δ, de rampa, é perpendicular ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄, e o seu traço frontal tem 5 de cota.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 20 – 2019, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções dos traços, nos planos bissectores β₁₃ e β₂₄, da recta i resultante da intersecção dos planos oblíquos α e θ.

Dados:

o plano α é definido pelo ponto T, do eixo x, com –10 de abcissa, e pela recta horizontal h;
a recta horizontal h define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção, e o seu traço frontal tem 5 de abcissa e 7 de cota;
o plano θ contém o ponto M, do eixo x, com abcissa zero;
o traço horizontal do plano θ define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x, e o seu traço frontal define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 19 – 2011, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

Dados:

o plano δ está definido por uma recta de maior declive, d;
a recta d contém o ponto P (– 2; 3; 4 );
as projecções, horizontal e frontal, da recta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respetivamente;
os traços horizontal e frontal do plano ρ têm – 5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 18 – 2009, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ .

Dados:

o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respetivamente,ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 17 – 2009, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta de intersecção dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados:

os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com – 1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 16 – 2006, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta i, de intersecção dos planos oblíquos β e ω .

Dados:

o plano β é definido pelas rectas paralelas r e s;
a recta r contém os pontos R (0; 1; 5) e S (1; 2; 3);
a recta s contém o ponto T (4; 1; 2);
os traços do plano ω intersectam-se num ponto com – 8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um ângulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 15 – 2006, 1.ª Fase (código 708)
Determine a recta de intersecção i do plano de rampa ρ com o plano oblíquo α.

Dados:

o plano de rampa ρ contém as rectas fronto-horizontais a e b;
a recta a tem 3 de afastamento e 3 de cota e a recta b tem 5 de afastamento e 2 de cota;
os traços horizontal e frontal do plano oblíquo α fazem, ambos,ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 14 – 2004, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta i, de intersecção do plano vertical δ com o plano oblíquo β.

Dados:

o plano vertical δ contém o ponto A (2; 2; 3), e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
os traços do plano oblíquo β intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa;
o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda; o traço frontal do plano β faz umângulo de 45º com o mesmo eixo, de abertura para a direita.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 13 – 2003, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta i de intersecção do plano vertical β com o plano de rampa ρ.

Dados:

o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita) e intersecta o mesmo eixo no ponto de abcissa nula;
o plano de rampa ρ contém os pontos A (1; 4; 2) e B (– 3; 1; 6).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 12 – 2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções da recta i de intersecção do plano ν com o plano α.

Dados:

o plano ν é horizontal e contém um ponto A (5; 3; 7);
o plano α é oblíquo e contém o ponto B (– 5; 2; 3);
o traço horizontal do plano α cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com o mesmo, um ângulo de 45º (abertura para a direita).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 11 – 2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine as projecções da recta i de intersecção do plano oblíquo β com o plano de rampa ρ.

Dados:

os traços do plano β cruzam-se num ponto com abcissa nula e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
o plano ρ é definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;
a recta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;
a recta b contém o ponto B (– 5; 4; 3).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 10 – 2002, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções da recta de intersecção i dos planos oblíquos α e β.

Dados:

os traços do plano α são concorrentes num ponto N, com 0 de abcissa, e fazem ambos ângulos de 45º com o eixo x: o traço horizontal com abertura para a esquerda, e o traço frontal com abertura para a direita;
o plano β é definido pelo ponto X (– 7; 0; 0) e pela recta r;
a projecção horizontal da recta r coincide com o traço horizontal do plano α;
o traço horizontal da recta r tem 5 de afastamento;
o traço frontal da recta r tem 5 de cota.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 09 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 409)
Determine a recta de intersecção i dos dois planos ρ e θ .

Dados:

o plano ρ é de rampa e é definido pelo seu traço frontal, que tem 3 de cota, e por uma recta a, fronto-horizontal, que tem 4 de afastamento e 1 de cota;
o plano θ é de topo e faz um diedro de 30º (abertura para a direita, no primeiro diedro) com o plano horizontal de projecção.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 08 – 2000, 2.ª Fase (código 109)
Determine a recta de intersecção i do plano de topo π com o plano oblíquo α.

Dados:

o plano de topo π intersecta o eixo x no ponto de abcissa 5 e faz, com o plano horizontal de projecção, um diedro de 60º, de abertura para a direita;
o plano oblíquo α é definido por uma recta de perfil p e pelo ponto C (0; 3; 3);
a recta de perfil p contém os pontos A (8; 8; 3) e B (8; 3; 8).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 07 – 1999, 2.ª Fase (código 109)
Determine a recta de intersecção i dos planos de rampa α e β.

Dados:

o traço horizontal do plano α tem 4 de afastamento, e o seu traço frontal tem 5 de cota;
o plano β é definido pelo seu traço horizontal, que tem 6 de afastamento, e pelo ponto B (0; 3; 2).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 06 – 1997, Prova Modelo (código 109)
Determine as projecções da recta de intersecção de um plano de rampa α com um plano horizontal ν.

Dados:

o traço frontal do plano de rampa α tem cota 8;
o plano de rampa α contém a ponto A (3; 3; 4);
o plano horizontal n contém o ponto B (0; 9; 6).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 05 – 1996, Prova modelo (código 109)
Desenhe as projecções da recta i de intersecção de dois planos α e β.

Dados:

o plano α é definido pelos pontos A (0; – 7; 5), B (– 3; 0; 0) e C (– 7; 0; 4);
o plano β é definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto P (– 9; 0; 0);
a recta h é horizontal e faz um ângulo de 45º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda;
a recta f é frontal e a sua projecção frontal coincide com a projecção horizontal da recta h.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 04 – 1996, 2.ª Fase
O plano α está definido por duas rectas paralelas r e s.

Dados:

a recta r contém o ponto A (0; 1; 2) e a recta s contém o ponto B (– 5; – 2; 1);
as projecções horizontais das rectas fazem ângulos de 30º com o eixo x, de abertura para a direita e as projecções frontais, ângulos de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda.
- a) Determine os traços do plano α nos planos de projecção.
- b) Determine as projecções da recta i do plano α que se situa no bissector dos diedros pares.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 03 – 1996, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine a recta i de intersecção de dois planos, α e β.

Dados:

o plano α é de rampa, tendo o traço horizontal 2 de afastamento e o traço frontal 5 de cota;
o plano β está definido por duas rectas, r e s, concorrentes no ponto P (1,5; 2,5);
a recta r é fronto-horizontal;
as projecções da recta s são paralelas, fazendo a projecção horizontal um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita.

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 02 – 1986, 2.ª Fase (código 121)
Determine a recta comum aos planos α e β.

Dados:

o plano α é paralelo ao eixo x e contém P (0; 3; 4) e Q (2; 0; 7);
o plano β é definido pelo eixo x e pelo ponto B (3; 8; 3).

INTERSECÇÃO DE PLANOS

EXERCÍCIO 01 – 1982, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções da recta de intersecção dos planos αlfa e β.

Dados:

o plano α é definido pela recta de maior declive d;
o traço horizontal da recta d tem 3 de afastamento e as suas projecções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos de 45º de abertura para a esquerda;
o plano β é oblíquo aos planos de projecção, intersecta o eixo x no ponto N à distância de 6 para a direita da linha de chamada do traço horizontal da recta de maior declive do plano α e os seus traços, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos respetivamente iguais a 45º e 70º de abertura para a esquerda.

TOPO DA PÁGINA

D. Intersecção de uma recta com um plano

EXERCÍCIO 28.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano oblíquo	GD-A 708	2024, 1ª Fase
EXERCÍCIO 27.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	GD-A 708	2023, 1ª Fase
EXERCÍCIO 26.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano bissector	GD-A 708	2022, 1ª Fase
EXERCÍCIO 25.	Intersecção de uma recta fronto-horizontal com um plano oblíquo	GD-A 708	2021, 2ª Fase
EXERCÍCIO 24.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD-A 708	2020, 2ª Fase
EXERCÍCIO 23.	Intersecção de uma recta frontal com um plano oblíquo	GD-A 708	2019, 1ª Fase
EXERCÍCIO 22.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD-A 708	2016, 1ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	GD-A 708	2013, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	GD-A 708	2011, Época Especial
EXERCÍCIO 19.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano de rampa	GD-A 708	2008, 1ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano de rampa	GD-A 708	2007, 1ª Fase
EXERCÍCIO 17.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	DGD-B 409	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 1ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 409	2005, 2ª Fase
EXERCÍCIO 14.	Intersecção de uma recta frontal com um plano oblíquo	DGD-B 409	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 13.	Intersecção de uma recta vertical com um plano de rampa	DGD-B 109	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 12.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano de rampa	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 11.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano oblíquo	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 10.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano de rampa	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 09.	Intersecção de uma recta frontal com um plano de rampa	DGD-B 409	2002, Prova Modelo
EXERCÍCIO 08.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 07.	Intersecção de uma recta vertical com um plano de rampa	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 06.	Intersecção de uma recta de topo com um plano oblíquo	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 05.	Intersecção de uma recta horizontal com um plano oblíquo	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 2ªCh.
EXERCÍCIO 04.	Intersecção de uma recta passante com um plano oblíquo	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 03.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	DGD-B 109	1996, 1ª Fase, 1ªCh.
EXERCÍCIO 02.	Intersecção de uma recta oblíqua com um plano oblíquo	GD 121	1982, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Intersecção de uma recta de perfil com um plano de rampa	GD 121	1982, 1ª Fase, 1ªCh.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 28 – 2024, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta p com o plano α.

Dados:

o plano α contém o ponto A, com 3 de abcissa e 3 de afastamento, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares, β₁₃;
os traços horizontal e frontal do plano α são coincidentes;
o traço horizontal do plano α define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta p, de perfil, está contida no plano bissector dos diedros pares, β₂₄, e tem − 2 de abcissa

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 27 – 2023, 1.ª Fase (código 708)

Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta t com o plano α.

Dados:

a recta recta t, de topo, tem 6 de abcissa e – 4 de cota;
a recta recta r contém o ponto K, do eixo x, com zero de abcissa, e é uma das rectas de maior declive do plano α;
as projecções horizontal e frontal da recta r definem, respetivamente, ângulos de 55º e de 50º, de abertura para a esquerda com o eixo x.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 26 – 2022, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta m com o plano bissector dos diedros pares, β₂₄.

Dados:

a recta m contém o ponto N e é uma das rectas de maior declive do plano α;
o plano α é definido pelo ponto L (– 4; 3; 4) e pela recta de perfil p;
a recta p contém o ponto M (0; – 4; 4) e o ponto N com 7 de cota;
a recta p define um ângulo de 35º com o plano horizontal de projecção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 25 – 2021, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta m com o plano α.

Dados:

o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A (7; – 5; 2);
o traço frontal do plano α define um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta m com – 6 de cota é fronto-horizontal e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β₁₃

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 24 – 2020, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A do bissector dos diedros pares, β₂₄, com 3 de abcissa e 7 de cota;
o traço horizontal do plano α define um ângulo de 65º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta r pertence ao bissector dos diedros pares, β₂₄, e a sua projecção frontal define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o ponto B (0; –7; 7) pertence à recta r.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 23 – 2019, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta f com o plano α.

Dados:

o plano α é definido pelo ponto R (8; 0; 6) e pela recta horizontal h;
a recta h contém o ponto S (2; 2; 3) e define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
a recta f é frontal e contém o ponto M (0; 7; –7);
a projecção frontal da recta f é perpendicular ao traço frontal do plano α.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 22 – 2016, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

o plano α contém o ponto A (5; -2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º de abertura para a direita, com o eixo x;
a recta r contém o ponto P (-7; 0; 0);
a projecção horizontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;
a projecção frontal da recta r é paralela ao traço frontal do plano α.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 21 – 2013, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta de topo t com o plano oblíquo δ.

Dados:

a recta t tem – 5 de abcissa e 5 de cota;
o plano δ está definido por duas rectas paralelas, a e b;
a recta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
a projecção frontal da recta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta b contém o ponto N (6; 4; – 1).

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 20 – 2011, Época especial (código 708)
Determine as projecções do ponto de intersecção I, da recta oblíqua r com o plano de rampa ω.

Dados:

a recta r contém o ponto P (− 5; 4; 1), as projecções horizontal e frontal, da recta fazem, respetivamente, ângulos de 50º e de 35º, ambos de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o plano ω está definido pelo ponto A (6; 3; 6) e pela recta m;
a recta m é fronto-horizontal e as suas projecções, horizontal e frontal têm 6 de afastamento e 4 de cota, respetivamente.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 19 – 2008, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados:

o plano ρ tem o seu traço horizontal com – 7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β₂₄).

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 18 – 2007, 1.ª Fase (código 708)
Determine o ponto de intersecção I, da recta horizontal n com o plano de rampa ρ.

Dados:

o plano ρ é definido pelo ponto A (– 2; 2; 8) e pela recta a;
a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β₂₄;
a recta n contém o ponto N (– 4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 17 – 2006, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I, de intersecção da recta oblíqua r com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
os traços horizontal e frontal do plano de rampa ρ têm, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 16 – 2005, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano oblíquo β com a recta t.

Dados:

o plano β contém o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (– 1; 6; 2);
a recta t é de topo, tem – 3 de abcissa e 4 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 15 – 2005, 2.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta oblíqua r com o plano oblíquo β.

Dados:

a recta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
os traços do plano β intersectam o eixo x num ponto com – 2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 14 – 2004, 1.ª Fase (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta frontal f com o plano oblíquo β.

Dados:

o plano β é definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6);
a recta a contém o ponto H (3; 3; 0) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
a recta f contém o ponto P (– 4; 4; 2) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 13 – 2003, 2.ª Fase (código 109)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta v com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta v é vertical e contém o ponto A (2; 3; 1);
o plano ρ contém um ponto P (– 2; 2; 4) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 12 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta h com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta h é horizontal, contém o ponto A (2; 1; 3) e faz um ângulo de 30º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda, no primeiro diedro;
o plano ρ contém o ponto P (7; 3; 2), e o seu traço frontal tem 5 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 11 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 409)
Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo δ.

Dados:

a recta n é definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;
o plano δ é definido pela recta de maior declive d;
a recta d é definida pelos pontos H e F, que são os seus traços nos planos de projecção;
o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;
o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 10 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta oblíqua r contém o ponto A (– 4; 4; 2) e intersecta o plano frontal de projecção num ponto F, com abcissa nula, e as suas projecções são paralelas;
o plano de rampa ρ contém o ponto H (– 2; – 9; 0) e tem os traços coincidentes.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 09 – 2002, Prova Modelo (código 409)
Determine o ponto de intersecção I da recta frontal f com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta f contém o ponto P (2; 4; 6) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projecção;
o traço frontal do plano de rampa ρ tem 3 de cota;
o plano contém um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 08 – 2001, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano oblíquo α.

Dados:

a recta r intersecta o plano frontal de projecção no ponto F (2; 0; 5);
as projecções da recta r fazem ambas, com o eixo x, ângulos de 30º, a projecção horizontal com abertura para a direita, e a projecção frontal com abertura para a esquerda;
o plano oblíquo α está definido pelos seus traços nos planos de projecção e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 30º, com abertura para a direita, e o traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º, com abertura para a esquerda.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 07 – 2000, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta vertical v com o plano de rampa ρ.

Dados:

a recta v contém o ponto P (– 2; – 2; 7);
o plano de rampa ρ é definido pelo ponto A (2; 2; 3) e pelo seu traço horizontal, que tem 4 de afastamento.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 06 – 1999, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta de topo t com o plano oblíquo α.

Dados:

a recta t contém o ponto P, com – 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao bissector dos diedros ímpares;
o traço frontal do plano oblíquo α faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura à esquerda, intersectando-o num ponto X, com – 4 de abcissa;
o plano oblíquo α contém o ponto A (4; 3; 2).

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 05 – 1998, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo α.

Dados:

a recta n contém o ponto P (– 5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
o plano oblíquo α contém o ponto X do eixo x, com abcissa 5, e uma recta frontal f, que passa pelo ponto S (4; 2; 3) e que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 04 – 1997, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano oblíquo α.

Dados:

a recta r é uma recta oblíqua passante, que contém o ponto A (2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com – 4 de abcissa;
o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x e intersecta-o num ponto X, com abcissa 4;
o plano α contém um ponto P, do plano frontal de projecção, com – 2 de abcissa e 9 de cota.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 03 – 1996, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 109)
Determine o ponto de intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

a recta r está definida pelos pontos A (0; 0; 1) e B (– 3; 5; 4);
o traço horizontal do plano α contém os pontos M (– 3; 4; 0) e N (– 7; 0; 0);
o traço frontal do plano α faz com o eixo x um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 02 – 1982, 2.ª Fase (código 121)
Dados os pontos A (– 2; 2; 3,5), B (– 4; 2; 5), C (– 7; – 1; 3) e D (1; 2; 4), determine as projecções do ponto de intersecção da recta s com o plano ω definido pelos pontos A, B e C.

Dados:

a recta s contém o ponto D;
a projecção frontal da recta s, faz com o eixo x, um ângulo de 45º de abertura para a direita e a sua projecção horizontal faz com a mesma linha, um ângulo de 60º de abertura para a direita.

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM UM PLANO

EXERCÍCIO 01 – 1982, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções do ponto I, intersecção da recta de perfil s com o plano de rampa ω.

Dados:

o plano de rampa ω é definido pelos pontos A (0; – 1; 5), B (– 4; 5; 2) e C (– 7; – 1; 5);
a recta de perfil s é definida pelos pontos R (– 8,5; 6; 8) e S (– 8,5; 2,5; 1).

TOPO DA PÁGINA

E. Sólidos com base(s) situada(s) em plano(s) horizontal(ais) ou frontal(ais)

EXERCÍCIO 38.	Prisma quadrangular oblíquo com bases horizontais	DGD-B 409	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 37.	Cilindro oblíquo de bases circulares frontais	DGD-B 409	2006, 1ª Fase
EXERCÍCIO 36.	Pirâmide hexagonal oblíqua com base horizontal	DGD-B 409	2005, 2ª Fase
EXERCÍCIO 35.	Pirâmide pentagonal oblíqua com base horizontal	DGD-B 409	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 34.	Prisma triangular oblíquo com bases horizontais	DGD-B 409	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 33.	Cone oblíquo de base circular frontal	DGD-B 409	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 32.	Cone de revolução com base frontal	DGD-B 109	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 31.	Cubo com faces horizontais	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 30.	Prisma quadrangular recto com bases frontais	DGD-B 109	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 29.	Pirâmide quadrangular oblíqua com base frontal	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 28.	Pirâmide hexagonal recta com base horizontal	DGD-B 109	2003, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 27.	Cone de revolução com base horizontal	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 26.	Prisma pentagonal oblíquo com bases horizontais	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 25.	Pirâmide triangular recta com base horizontal	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 24.	Pirâmide quadrangular oblíqua com base frontal	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 23.	Paralelepípedo rectângulo com faces horizontais	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 22.	Pirâmide pentagonal recta com base frontal	DGD-B 109	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Prisma triangular recto com bases frontais	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 20.	Cubo com faces horizontais	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 19.	Cubo com faces frontais	DGD-B 109	2000, 2ª Fase
EXERCÍCIO 18.	Prisma pentagonal recto com bases horizontais	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 17.	Pirâmide hexagonal recta com base frontal	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 16.	Prisma hexagonal recto com bases frontais	DGD-B 109	1999, 2ª Fase
EXERCÍCIO 15.	Cubo com faces frontais	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 14.	Pirâmide triangular recta com base horizontal	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 13.	Pirâmide quadrangular recta com base frontal	DGD-B 109	1999, Prova Modelo
EXERCÍCIO 12.	Cubo com faces horizontais	DGD-B 109	1998, 2ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Prisma quadrangular regular com bases horizontais	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 10.	Cone de revolução com base horizontal	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 09.	Prisma octogonal regular com bases frontais	DGD-B 109	1998, Prova Modelo
EXERCÍCIO 08.	Pirâmide quadrangular recta com base horizontal	DGD-B 109	1997, 2ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Cilindro de revolução e pirâmide triangular recta	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 06.	Cone de revolução e prisma triangular recto	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 05.	Cubo e prisma quadrangular recto	DGD-B 109	1997, Prova Modelo
EXERCÍCIO 04.	Cone de revolução e cubo	DGD-B 109	1996, 2ª Fase
EXERCÍCIO 03.	Cone de revolução com base horizontal	DGD-B 109	1996, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Pirâmide quadrangular com base horizontal	DGD-B 109	1996, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 01.	Prisma triangular recto com bases frontais	DGD-B 109	1996, Prova Modelo

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 38 – 2006, 2ª Fase (código 409)
Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

as bases do prisma são quadrados, contidos em planos horizontais com 2 e 8 de cota;
os pontos A, com 6 de abcissa e 5 de afastamento, e B, com 3 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota;
o ponto A é o vértice do sólido situado mais à esquerda;
as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projecção e medem 8 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 37 – 2006, 1ª Fase (código 409)
Represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

Dados:

as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;
o ponto O(3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;
os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 36 – 2005, 2ª Fase (código 409)
Represente uma pirâmide hexagonal oblíqua, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a base da pirâmide é o hexágono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal;
a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto O(0; 6; 9);
o vértice A da base da pirâmide tem – 4 de abcissa e 7 de afastamento;
o vértice V da pirâmide tem – 6 de abcissa e 3 de afastamento;
a aresta [AV] está contida numa recta obliqua passante.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 35 – 2004, 2ª Fase (código 409)
Determine as projecções de uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a base da pirâmide é o pentágono regular [ABCDE], contido num plano horizontal;
a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto O (1; 6; 1) e 4 cm de raio;
o vértice A, com 7,5 de afastamento, é o que se situa mais à esquerda;
a aresta lateral [AV] é um segmento de recta frontal;
o vértice da pirâmide, V, tem -5 de abcissa e 8 de cota.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 34 – 2004, 1ª Fase (código 409)
Determine as projecções de um prisma triangular oblíquo, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

as bases do prisma são triângulos equiláteros contidos em planos horizontais;
os pontos A (0; 5; 3) e B, com 4 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices da base [ABC];
o vértice D, com -3 de abcissa e 10 de afastamento, é um dos extremos da aresta lateral [AD];
a altura do prisma mede 7 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 33 – 2003, 2ª Fase (código 409)
Represente um cone oblíquo de base circular, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência da base do sólido.

Dados:

A base do sólido está contida num plano frontal, com centro no ponto O (4; 1; 5);
o ponto A, com 4 de abcissa e 8 de cota, é um ponto da circunferência da base;
a geratriz [AV] do cone é horizontal;
o vértice V tem 11 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 32 – 2003, 2ª Fase (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cone de revolução, com a base contida num plano frontal λ.

Dados:

os pontos A (-3; 1; 9) e V (-5; 8; 6) definem uma das geratrizes do cone, sendo V o vértice do sólido.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 31 – 2003, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 409)
Represente um cubo, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a face [ABCD] está contida no plano horizontal ν;
o vértice A pertence ao plano bissector dos diedros ímpares,tem 9 de abcissa e 3 de cota;
o vértice B tem 4 de abcissa e é um ponto do plano frontal de projecção.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 30 – 2003, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma quadrangular recto, situado no primeiro diedro. Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], cujo vértice A tem 3 de afastamento e 2 de cota;
a aresta [AB] dessa base mede 5 cm e faz um ângulo de 30° com o plano horizontal de projecção de abertura para a direita;
a altura do prisma mede 7 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 29 – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 409)
Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a base da pirâmide está contida num plano frontal;
os pontos A (6; 5; 10) e C são vértices opostos do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;
o vértice C tem 10 de abcissa e 2 de cota;
o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com 1 de abcissa.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 28 – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide hexagonal reta, situada no primeiro diedro. Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a base da pirâmide é o hexágono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal;
a base está inscrita numa circunferência com centro no ponto O (2; 7; 1);
um dos vértices da base é o ponto A, com 1 de abcissa e 3 de afastamento;
o vértice V da pirâmide é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 27 – 2002, 2ª Fase (código 109)
Represente pelos seus contornos aparentes, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cone de revolução, com a base contida num plano horizontal ν.

Dados:

o vértice do cone e o ponto V (0; 5; 2);
o ponto P (3; 2; 7) é um dos pontos da circunferência da base.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 26 – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 409)
Represente um prisma pentagonal oblíquo, com as bases horizontais e situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

uma das bases é o pentágono regular [ABCDE], inscrito numa circunferência de centro M (0; 6; 2);
o vértice A tem 3,5 de abcissa e 6,5 de afastamento;
as arestas laterais são segmentos de rectas frontal que fazem ângulos de 60º com os planos das bases (abertura a esquerda, no primeiro diedro) e medem 7 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 25 – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide triangular recta, de vértice V, com a base contida num plano horizontal ν. Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a base da pirâmide é o triângulo equilátero [ABC];
o segmento de recta [AV] é uma das três arestas laterais do sólido, e os seus extremos são os pontos A (3; 5; 6) e V (0; 4; 0).

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 24 – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 409)
Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base frontal e de vértice V, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a base é o quadrado [ABCD], que está inscrito numa circunferência com centro no ponto M, o qual tem 0 de abcissa e 5,5 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares;
o vértice A tem 4 de abcissa e 4 de cota;
o vértice B é o de menor cota;
a aresta lateral [AV] é horizontal;
a aresta lateral [BV] é de perfil
o vértice V pertence ao plano frontal de projecção.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 23 – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada (Código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um paralelepípedo rectângulo, situado no espaço do primeiro diedro, identificando as arestas que forem invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

os pontos A (4; 5; 3) e G (-4; 5; 6) são dois vértices opostos do sólido;
as faces [ABCD] e [EFGH] estão, respectivamente, contidas nos planos horizontais ν1 e ν2;
o vértice B tem 2 de abcissa e tem maior afastamento que o ponto A.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 22 – 2001, 2ª Fase (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma pirâmide pentagonal reta, existente no espaço do primeiro diedro e com a base contida num plano frontal φ. Identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a base da pirâmide é o pentágono regular [ABCDE], com centro em O (0; 2; 4);
o raio da circunferência circunscrita à base do sólido mede 4 cm;
o vértice A do pentágono tem 8 de cota e pertence à recta vertical v, que contém o ponto O;
o vértice da pirâmide é o ponto V, que dista 7 cm do plano frontal φ.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 21 – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma triangular recto, existente no espaço do primeiro diedro.
Identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

uma das bases do sólido é o triângulo equilátero [ABC], que está contido no plano frontal de projecção e cujos lados medem 5 cm;
o vértice A, que é o vértice que se situa mais à esquerda, tem abcissa nula e 6 de cota;
o vértice B tem -3 de abcissa e tem menor cota que o ponto A;
o segmento de recta [AD] é uma das arestas laterais do prisma, e o ponto D pertence ao plano bissector dos diedros ímpares.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 20 – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cubo com a face [ABCD] contida no plano horizontal de projecção. Identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o ponto A (-4; 3; 0) é o vértice da face [ABCD], localizado mais à direita;
o ponto E, com 5 de cota, define, com o vértice A, uma das arestas verticais do sólido;
o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao eixo x.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 19 – 2000, 2ª Fase (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um cubo, com duas faces contidas em planos frontais. Este sólido encontra-se situado no espaço do primeiro diedro. Identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a face [ABCD] do sólido está contida no plano φ, com 3 cm de afastamento;
o ponto B, com 3 de abcissa e 5 de cota, e o ponto D, com -4 de abcissa e 4 de cota, são os extremos de uma das diagonais desta face.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 18 – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um pentágono regular [ABCDE], contido num plano horizontal ν e que é uma das bases de um prisma recto, situado no espaço do primeiro diedro.
Represente igualmente este sólido, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o plano horizontal tem 1 cm de cota;
o centro da circunferência circunscrita à figura é o ponto O, com abcissa nula e 5 cm de afastamento;
o ponto A é um dos vértices do pentágono;
o raio [OA] da circunferência circunscrita tem uma inclinação de 45º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção, e o ponto A tem 2 cm de afastamento;
as arestas laterais do sólido medem 3 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 17 – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um hexágono regular [ABCDEF], contido num plano frontal φ, que é a base de uma pirâmide reta, situada no espaço do primeiro diedro.
Represente igualmente este sólido, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o ponto A (-1; 2; 3) é o vértice de menor cota do hexágono;
o lado [AB] da figura está contido numa recta frontal f, que faz, com o plano horizontal de projecção, um ângulo de 45º de abertura para a direita;
os lados do hexágono medem 4 cm;
o vértice da pirâmide é o ponto V, que dista 7 cm de plano frontal φ.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 16 – 1999, 2ª Fase (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um prisma hexagonal recto, existente no primeiro diedro, com as bases contidas em dois planos frontais α e β.
Identifique as arestas do sólido que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

as bases do sólido são hexágonos regulares;
os pontos A (2; 1; 2) e D (-3; 1; 7), contidos no plano α, são dois vértices opostos da base [ABCDEF];
o plano β dista 6 cm do plano α.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 15 – 1999, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
O quadrado [ABCD], contido no plano frontal de projecção, é uma das faces de um cubo, situado no primeiro diedro. Represente este sólido no sistema de dupla projecção ortogonal, identificando as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o vértice A do quadrado tem abcissa nula e 2 cm de cota;
o vértice B tem 3 cm de abcissa;
as arestas do cubo medem 6 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 14 – 1999, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
O triângulo equilátero [ABC] contido num plano horizontal ν, é a base de uma pirâmide reta.
Represente este sólido no sistema de dupla projecção ortogonal, identificando as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o triângulo [ABC] está inscrito numa circunferência de centro em ponto O (0; 6; 7);
o vértice A tem abcissa nula e 2 cm de afastamento;
o vértice V, do sólido, pertence ao plano horizontal de projecção.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 13 – 1999, Prova Modelo (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, um quadrado [ABCD], contido num plano frontal φ.
Esta figura é a base de uma pirâmide reta. Represente esse sólido e identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

os pontos A (0; 8; 8) e B (4; 8; 5) são dois vértices consecutivos do quadrado;
o ponto A é o vértice de maior cota da base da pirâmide;
o ponto V, que é o vértice do sólido, pertence ao plano frontal de projecção.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 12 – 1998, 2ª Fase (código 109)
Represente pelas suas projecções um cubo, com duas faces contidas em planos horizontais e existente no espaço do primeiro diedro. Identifique as arestas que sejam invisíveis com a convenção gráfica adequada.

Dados:

os pontos A e C são os extremos de uma diagonal da face do sólido contida no plano horizontal de maior cota;
o ponto A, com abcissa 3 e afastamento 7, pertence ao bissector dos diedros ímpares;
o ponto C, com –4 de abcissa, dista 8 cm do ponto A;
o afastamento do ponto C é menor que o do ponto A.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 11 – 1998, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma recta r, pertencente ao bissector dos diedros ímpares.
Essa recta contém a diagonal [AF] de uma face lateral de um prisma quadrangular regular, com bases horizontais, existente no espaço do primeiro diedro.
Represente esse sólido e identifique as arestas que sejam invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a projecção horizontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
o extremo A, da diagonal [AF], tem 2 cm de afastamento;
o extremo F tem 5 cm de cota.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 10 – 1998, 1ª Fase 1ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, uma recta oblíqua passante g. Esta recta contém o vértice de um cone de revolução, existente no espaço do primeiro diedro, e um ponto da circunferência que delimita a sua base.
Represente esse sólido e verifique, em ambas as projecções, a visibilidade da reta, identificando-a com a convenção gráfica adequada.

Dados:

a recta g intersecta o eixo x no ponto X, com -5 de abcissa;
as projecções horizontal e frontal da recta fazem, com o eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º, ambos de abertura para a esquerda;
a circunferência que delimita a base do cone tem 4 cm de raio e está contida num plano horizontal com 4 cm de cota.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 09 – 1998, Prova Modelo (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois segmentos de recta concorrentes, [AE] e [AI].
Os extremos do segmento [AE] são vértices opostos de um octógono regular contido num plano frontal φ; esta figura é uma das bases de um prisma octogonal regular. O segmento [AI] é uma aresta lateral do prisma.
Represente esse sólido e identifique as suas arestas invisíveis, com a convenção gráfica adequada.

Dados:

o ponto de concorrência dos dois segmentos é o ponto A (2; 8; 8);
o segmento de recta [AE] é frontal, faz um ângulo de 55º de abertura para a esquerda com o plano horizontal de projecção e mede 6 cm;
o ponto E tem cota inferior à do ponto A;
o segmento [AI] tem o extremo I contido no plano frontal de projecção.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 08 – 1997, 2ª Fase (código 109)
Represente pelas suas projecções uma pirâmide quadrangular regular de base horizontal, situada no espaço do primeiro diedro.

Dados:

o plano horizontal tem 2 cm de cota;
a aresta [VA] está contida na recta oblíqua r que contém o ponto E (-13; 7; -1), a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º com o eixo x, de abertura para a direita e a projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda;
a pirâmide tem 5,5 cm de altura.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 07 – 1997, 1ª Fase 2ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois sólidos, ambos existentes no espaço do primeiro diedro – um cilindro de revolução e uma pirâmide triangular regular. Apesar das faces da pirâmide não intersectarem a superfície do cilindro, cada sólido poderá ocultar parcialmente o outro. Indique, com traço interrompido, as linhas invisíveis de ambos.

Dados:

Cilindro de revolução:
- as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;
- a circunferência que delimita a base de menor afastamento tem centro no ponto O (2,5; 6; 2) e o seu raio mede 2 cm;
- a outra base tem 10 cm de afastamento.
Pirâmide triangular regular:
- a base [ABC] da pirâmide está contida num plano horizontal, sendo os pontos A (5; 0; 10) e B (-5; 0; 10) dois dos seus vértices;
- o vértice V da pirâmide tem cota nula.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 06 – 1997, 1ª Fase 1ª Chamada (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois sólidos, ambos existentes no espaço do primeiro diedro – um cone de revolução e um prisma triangular regular. Apesar das faces do prisma não intersectarem a superfície do cone, tenha em conta que cada sólido poderá ocultar parcialmente o outro. Indique, com traço interrompido, as linhas invisíveis.

Dados:

Cone de revolução:
- a base do cone está contida no plano frontal de projecção;
- a circunferência que a delimita tem centro no ponto O (0; 0; 7) e o seu raio mede 5 cm;
- o vértice do cone tem 10 de afastamento.
Prisma triangular regular:
- uma base do prisma está contida no plano horizontal de projecção e está inscrita numa circunferência com 3 cm de raio e centro no ponto M (-1; 9; 0);
- um dos vértices do triângulo dessa base tem -4 de abcissa;
- a altura do sólido mede 5 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 05 – 1997, Prova Modelo (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois sólidos, ambos existentes no espaço do primeiro diedro – um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. Apesar das faces dos dois sólidos não se intersectarem, tenha em conta que cada sólido poderá ocultar parcialmente o outro. Indique, com traço interrompido, as arestas invisíveis de ambos.

Dados:

Cubo:
- o sólido tem uma face contida no plano horizontal de projecção;
- os pontos A (0; 2; 0) e B (3; 6; 0) são os extremos de uma aresta, sendo o ponto A o vértice de menor afastamento dessa face.
Pirâmide quadrangular regular:
- a base está contida no plano frontal de projecção;
- os pontos M (2; 0; 9) e N (-3; 0; 9) são dois vértices de maior cota da base do sólido;
- a altura da pirâmide mede 4 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 04 –1996, 2ª Fase (código 109)
Represente, no sistema de dupla projecção ortogonal, dois sólidos, ambos existentes no espaço do primeiro diedro – um cone de revolução e um cubo. Apesar de as faces do cubo não intersectarem a superfície do cone, tenha em atenção que cada sólido poderá ocultar parcialmente o outro. Indique, com traço interrompido, as linhas invisíveis de ambos.

Dados:

Cone de revolução:
- a base de sólido está contida num plano frontal;
- a circunferência que delimita a base tem centro no ponto O (-5; 12; 5) e o seu raio mede 5 cm;
- o vértice do cone tem afastamento nulo.
Cubo:
- a face [ABCD] do cubo está contida no plano frontal de projecção;
- os pontos A (-1; 0; 4) e B (-4; 0; 8) são dois vértices consecutivos dessa face;
- o ponto A é o vértice de menor cota da face [ABCD].

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 03 –1996, 1ª Fase 2ª Chamada (código 109)
Desenha as projecções de um cone de revolução, do primeiro diedro.

Dados:

o eixo do cone é vertical e tem 4 cm de afastamento;
o vértice V do cone fica no bissector dos diedros ímpares;
a base é tangente ao plano frontal de projecção;
as geratrizes medem 8 cm.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 02 –1996, 1ª Fase 1ª Chamada (código 109)
Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular situada no primeiro diedro, de base [ABCD] horizontal e vértice V.

Dados:

um vértice da base é o ponto A (0; 0; 8);
o lado [AB] mede 6 cm e faz um ângulo de 20º com o plano frontal de projecção, de abertura para a direita;
o vértice da pirâmide tem 1 cm de cota.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

EXERCÍCIO 01 –1996, Prova Modelo (código 109)
Desenhe as projecções de um prisma triangular regular do primeiro diedro, com bases frontais.

Dados:

uma das bases é o triângulo equilátero [ABC], sendo dois vértices os pontos A (0; 1; 4) e B (-2; 1; 10);
o vértice C é o de maior abcissa;
a altura do prisma é de 6 cm.

Determine a verdadeira grandeza da face lateral que contém a aresta [AB].

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F. Figuras contidas em planos verticais

EXERCÍCIO 12.	Rectângulo contido num plano vertical	DGD-B 409	2005, 1ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Quadrado contido num plano vertical	DGD-B 409	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Hexágono regular contido num plano vertical	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 09.	Hexágono regular contido num plano vertical	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 08.	Hexágono regular contido num plano vertical	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 07.	Pentágono regular contido num plano vertical	DGD-B 109	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 06.	Triângulo equilátero contido num plano vertical	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 05.	Rectângulo contido num plano vertical	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 04.	Triângulo rectângulo contido num plano vertical	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 03.	Hexágono regular contido num plano vertical	DGD-B 109	1998, Prova Modelo
EXERCÍCIO 02.	Triângulo contido num plano vertical	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 01.	Triângulo contido num plano vertical	DGD-B 109	1996, 1ª fase, 2ª Ch.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 12 – 2005, 1ª Fase (código 409)
Represente o rectângulo [ABCD], situado no primeiro diedro.

Dados:

o ponto A (-1; 2; 3) e o ponto B, com 1 de abcissa, são dois vértices consecutivos do rectângulo;
o rectângulo está contido no plano vertical δ, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda);
o lado [AB] está contido numa recta cujas projecções, horizontal e frontal, são paralelas entre si;
o lado maior do rectângulo mede 7 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 11 – 2004, 2ª Fase (código 409)
Represente o quadrado [ABCD], situado no primeiro diedro.

Dados:

o quadrado está contido num plano vertical δ, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 4; 6) e 3,5 cm de raio;
o vértice A do quadrado tem -1 de abcissa;
A é o vértice de maior cota.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 10 – 2003, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 409)
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no primeiro diedro.

Dados:

o hexágono está contido num plano vertical β, cujos traços se intersectam num ponto com zero de abcissa;
o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 60° com o eixo x, de abertura para a direita;
o ponto A, com 3 de afastamento e 3 de cota, é um dos vértices do hexágono;
o lado [AB] é horizontal e mede 4 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 09 – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], existente no primeiro diedro e contido num plano vertical π.

Dados:

os pontos A e B são os extremos do lado [AB] da figura;
o ponto A pertence ao plano horizontal de projecção, tem -3 de abcissa e 3 de afastamento;
o outro extremo é o ponto B (-6; 6; 1,5).

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 08 – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 409)
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no primeiro diedro e contido num plano vertical ω.

Dados:

o ponto A (0; 3; 5) é um dos vértices do hexágono;
a diagonal [AD]do hexágono esta contida numa recta obliqua d, cujas projecções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60° (de abertura a esquerda) e 30° (de abertura a direita);
os lados do hexágono medem 3 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 07 – 2001, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano vertical α.

Dados:

o centro da figura é o ponto O (-5; 3; 4);
o plano vertical α intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
o vértice A do pentágono está contido no plano horizontal de projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 06 – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], existente no primeiro diedro e contido num plano vertical β.

Dados:

o plano vertical β faz, com o plano frontal de projecção, um diedro de 60º de abertura para a direita;
os lados do triângulo medem 6 cm;
o vértice A tem afastamento nulo e 4 de cota;
o vértice B tem cota nula.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 05 – 1999, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano vertical β e situado no primeiro diedro.

Dados:

os pontos A (0; 2; 7) e B (-4; 6; 1) são os extremos de um dos lados maiores do rectângulo;
os lados menores da figura medem 4 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 04 – 1998, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de um triângulo rectângulo [ABC], contido num plano vertical β, existente no primeiro diedro.

Dados:

os pontos A (-2; 2; 4) e C (-7; 5; 2) são os extremos da hipotenusa do triângulo;
o ponto C é o vértice de menor cota da figura;
o cateto [AB] faz um ângulo de 60º com a hipotenusa.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 03 – 1998, Prova Modelo (código 109)
Determine as projecções do hexágono regular [ABCDEF], contido num plano vertical α existente do primeiro diedro.

Dados:

o plano α faz um diedro de 45º com o plano frontal de projecção, com abertura para a direita;
o ponto A, que é um vértice da figura, pertence ao plano frontal de projecção e tem 2,5 cm de cota;
o lado do hexágono mede 5 cm;
o vértice B, que é contíguo ao vértice A, pertence ao plano horizontal de projecção.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 02 – 1997, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Represente, pelos seus traços nos planos de projecção, o plano vertical λ que contém o triângulo [ABC]. Desenhe as projecções do triângulo e determine a sua verdadeira grandeza.

Dados:

os pontos A (0; 2; 4) e B (-5; 7; 2) são dois vértices da figura;
o vértice C tem -2 de abcissa e 8 de cota.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

EXERCÍCIO 01 – 1996, 1ª fase 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do triângulo [ABC], rectângulo em A, contido num plano projectante horizontal π.

Dados:

o plano faz um ângulo diedro de 60º com o plano frontal de projecção, de abertura para a direita;
o cateto [AB] mede 7 cm, pertence ao bissector dos diedros ímpares e o vértice A tem 2 cm de cota;
a hipotenusa [BC] do triângulo é horizontal, com cota positiva.

TOPO DA PÁGINA

G. Figuras contidas em planos de topo

EXERCÍCIO 11.	Hexágono regular contido num plano de topo	DGD-B 409	2006, 1ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Pentágono regular contido num plano de topo	DGD-B 409	2003, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 09.	Quadrado contido num plano de topo	DGD-B 109	2003, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 08.	Quadrado contido num plano de topo	DGD-B 109	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Retângulo contido num plano de topo	DGD-B 409	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 06.	Quadrado contido num plano de topo	DGD-B 109	2001, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 05.	Triângulo rectângulo contido num plano de topo	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 04.	Triângulo equilátero contido num plano de topo	DGD-B 109	1999, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 03.	Quadrado contido num plano de topo	DGD-B 109	1998, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Hexágono regular contido num plano de topo	DGD-B 109	1997, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Quadrado contido num plano de topo	DGD-B 109	1997, Prova Modelo

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 11 – 2006, 1ª Fase (código 409)
Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no primeiro diedro.

Dados:

o hexágono está contido no plano de topo θ;
o traço frontal do plano θ contém um ponto do eixo x com 4 de abcissa e faz um ângulo de 50º com o mesmo eixo (de abertura para a direita);
o vértice A do hexágono tem 2 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
o vértice B tem abcissa nula e 2 de afastamento.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 10 – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 409)
Represente o pentágono regular [ABCDE], situado no primeiro diedro e contido num plano de topo θ.

Dados:

o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (4; 3; 4);
o vértice A do pentágono tem 5 de abcissa, 5 de cota e pertence ao plano frontal de projecção.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 09 – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de um quadrado [ABCD] contido num plano de topo θ, situado no primeiro diedro.

Dados:

o traço frontal do plano θ faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a direita);
um dos vértices do quadrado é o ponto A, com 3 de afastamento e 2 de cota;
o lado do quadrado mede 5 cm;
o vértice B pertence ao traço horizontal do plano θ.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 08 – 2002, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo α.

Dados:

o quadrado esta inscrito numa circunferência de 4 cm de raio, com centro no ponto M (-2,5; 6; 2,5);
o vértice A pertence ao plano horizontal de projecção e tem 0 de abcissa;
o afastamento do vértice A é maior que o do ponto M.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 07 – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 409)
Represente o rectângulo [ABCD], situado no primeiro diedro e contido num plano de topo α.

Dados:

os pontos A (0; 4; 0) e B (4; 0; 4) são dois vértices consecutivos da figura;
as diagonais medem 8 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 06 – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de topo β.

Dados:

o ponto M (2; 3,5; 2) é o ponto médio do lado [AB] do quadrado;
o ponto N (6; 5,5; 6) é o ponto médio do lado [CD] do quadrado.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 05 – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do triângulo rectângulo [ABC], contido num plano de topo β e existente no primeiro diedro.

Dados:

os pontos A e B são os dois extremos de um dos catetos da figura;
o ponto A pertence ao bissector dos diedros ímpares, tem -3 de abcissa e 2 de afastamento;
o ponto B, com -7 de abcissa e 6 de cota, pertence ao plano frontal de projecção;
o cateto [AC] mede 8 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 04 – 1999, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do triângulo equilátero [ABC], contido no plano de topo β.

Dados:

o plano de topo β faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção, intersectando o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
o triângulo está inscrito numa circunferência, cujo centro é o ponto O, que tem 4 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
o vértice A da figura pertence ao plano frontal de projecção e tem 3 de cota.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 03 – 1998, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo π e existente no primeiro diedro.

Dados:

o plano π faz um diedro de 60º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
o ponto M, com 4 de afastamento, é o centro da figura e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
a diagonal [AC] está contida numa recta r, cuja projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º, de abertura para a direita;
o raio da circunferência circunscrita ao quadrado mede 4 cm.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 02 – 1997, 2ª Fase (código 109)
Desenhe as projecções de um hexágono regular [ABCDEF], existente no primeiro diedro e contido num plano de topo β.

Dados:

o plano de topo β faz um diedro de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
os pontos A (0; 4; 0) e B (0; 9; 0) são dois vértices consecutivos da figura.

FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

EXERCÍCIO 01 – 1997, Prova Modelo (código 109)
Determine as projecções de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo α.

Dados:

o plano α faz um diedro de 45º com o plano horizontal de projecção, com abertura para o lado direito;
a diagonal [AC] da figura está contida no bissector dos diedros ímpares;
o vértice A tem 2 de cota e o vértice C tem 6 de afastamento.

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H. Pontos, rectas e figuras contidas em planos de perfil

EXERCÍCIO 11.	Traços de uma recta de perfil nos planos de projecção	DGD-B 109	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Rectângulo contido num plano de perfil	DGD-B 109	2003, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 09.	Traços de uma recta de perfil nos planos bissectores	DGD-B 109	2002, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 08.	Circunferências contidas num plano de perfil	DGD-B 109	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Traços de uma recta de perfil nos planos de projecção	DGD-B 109	2000, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 06.	Quadrado contido num plano de perfil	DGD-B 109	1999, 2ª Fase
EXERCÍCIO 05.	Pontos pertencentes a um plano de perfil	DGD-B 109	1999, Prova Modelo
EXERCÍCIO 04.	Retângulo contido num plano de perfil	DGD-B 109	1998, 2ª Fase
EXERCÍCIO 03.	Ponto pertencente a um plano de perfil	DGD-B 109	1997, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Pentágono regular contido num plano de perfil	DGD-B 109	1996, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Triângulo equilátero contido num plano de perfil	DGD-B 109	1996, 1ª Fase, 1ª Ch.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 11 – 2003, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções dos pontos H e F da recta de perfil p.

Dados:

os pontos H e F são, respetivamente, os traços horizontal e frontal da recta p nos planos de projecção;
a recta p é definida pelos pontos A (0; 6; -2) e B;
o ponto B pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 3 de cota.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 10 – 2003, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do rectângulo [ABCD], contido no plano de perfil π situado no primeiro diedro, assinalando-as a traço contínuo forte.

Dados:

um dos vértices do rectângulo é o ponto A (-1; 5; 8);
o vértice B é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares, com 2 de cota;
o vértice C pertence ao plano horizontal de projecção.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 09 – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine as projecções dos pontos I e Q, que são os traços da recta de perfil p nos planos bissector, respetivamente, dos diedros pares e ímpares.

Dados:

a recta p contem os pontos A e H;
o ponto A fica situado no segundo diedro e tem -3 de afastamento e 5 de cota;
o ponto H pertence ao plano horizontal de projecção e tem 7 de afastamento.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 08 – 2001, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções dos pontos X e Y, de intersecção de duas circunferências contidas num plano de perfil π.

Dados:

a primeira circunferência, cujo centro é o ponto C (4; 6; 4), é tangente ao traço horizontal do plano π;
a segunda circunferência, cujo centro é o ponto O, com 4 de afastamento e 6 de cota, é tangente ao traço frontal do plano π.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 07 – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Determine os pontos H e F, que são os traços de uma recta de perfil p nos planos de projecção.

Dados:

a recta p contém os pontos A e B;
o ponto A tem 3 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
o ponto B, que está situado no segundo diedro, tem -2 de afastamento e 8 de cota.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 06 – 1999, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções do quadrado [ABCD], contido num plano de perfil π, assinalando-as a traço contínuo forte.

Dados:

o centro da figura é o ponto O, que tem 4,5 cm de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
o ponto A, com 1 de afastamento e 4 de cota, é um dos vértices do quadrado.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 05 – 1999, Prova Modelo (código 109)
Determine as projecções dos pontos X e Y resultantes da intersecção de uma recta p com uma circunferência com ela complanar.

Dados:

a recta e a circunferência estão ambas contidas num plano de perfil π;
a recta p contém o ponto A, com 6 de afastamento e 10 de cota, e intersecta o plano horizontal de projecção num ponto H, com 1 de afastamento;
o centro da circunferência é o ponto O, com 5 de afastamento e 4 de cota
a curva é tangente ao plano horizontal de projecção.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 04 – 1998, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções de um rectângulo [ABCD], contido num plano de perfil π e existente no espaço do primeiro diedro.

Dados:

o vértice A da figura pertence ao plano frontal de projecção e tem 3 de cota;
o ponto B, com 6 de afastamento e 7 de cota, é o extremo do lado [AB];
o extremo D do lado [AD] pertence ao plano horizontal de projecção.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 03 – 1997, 1ª Fase, 2ª Chamada (código 109)
Determine as projecções do ponto I de intersecção de duas rectas de perfil r e s.

Dados:

a recta r contém os pontos A (0; 7; 1 ) e B (0; -2; 10)
a recta s contém o ponto C (0; 1; 2) e é paralela ao bissector dos diedros ímpares.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 02 – 1996, 2ª Fase (código 109)
Determine as projecções de um pentágono regular [ABCDE], contido num plano de perfil.

Dados:

a circunferência circunscrita ao pentágono tem centro no ponto O (3; 4) e 3 cm de raio;
o lado [CD] de maior afastamento do polígono é vertical.

PONTOS, RECTAS E FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

EXERCÍCIO 01 – 1996, 1ª Fase, 1ª Chamada (código 109)
Desenhe as projecções de um triângulo [ABC] de perfil, isósceles e rectângulo em B.

Dados:

o vértice A tem 4 cm de afastamento e 1 cm de cota,
o lado [AB] faz um ângulo de 30º com o plano horizontal de projecção;
a projecção horizontal do vértice B coincide com a projecção frontal do vértice A;
o vértice B tem maior cota que o vértice A;
o vértice C situa-se no primeiro diedro.

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I. Sólidos com base(s) situada(s) em plano(s) vertical(ais), de topo ou de perfil

EXERCÍCIO 04.	Cubo com faces de topo	GD-A 708	2011, Época Especial
EXERCÍCIO 03.	Cilindro oblíquo com bases circulares horizontais	DGD-B 409	2005, 1ª fase
EXERCÍCIO 02.	Cubo com faces de perfil	DGD-B 409	2002, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Pirâmide pentagonal recta com base vertical	DGD-B 409	2002, Prova Modelo

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS), DE TOPO OU DE PERFIL

EXERCÍCIO 04 – 2011, Época Especial (código 708)
Represente, pelas suas projecções, o cubo [ABCDEFGH], de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

Dados:

o cubo está situado no primeiro diedro;
os pontos A (2; 3; 2) e E (-3; 3; 6) definem a aresta [AE].
a face [ABCD] é paralela à face [EFGH];
o ponto B, extremo do lado [AB], tem afastamento nulo.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS), DE TOPO OU DE PERFIL

EXERCÍCIO 03 – 2005, 1ª Fase (código 409)
Construa a representação diédrica de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Construa uma terceira projecção do cilindro, lateral, obtida no plano de perfil de projecção yz. Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis existentes na representação do sólido.

Dados:

as bases são horizontais e têm 3 cm de raio;
o centro O, de uma das bases, pertence ao plano horizontal de projecção, tem 6 de abcissa, e dista 6 cm do plano bissector dos diedros pares (β₂₄);
o centro O’, da outra base, tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
as geratrizes do sólido são paralelas ao plano bissector dos diedros pares (β₂₄).

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS), DE TOPO OU DE PERFIL

EXERCÍCIO 02 – 2002, 2ª Fase (código 409)
Represente um cubo com duas faces de perfil, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

a face [ABCD] é a face de perfil que se situa mais à esquerda;
o vértice A tem 1 de afastamento e 5 de cota;
o vértice B tem 5 de afastamento e 2 de cota.

SÓLIDOS COM BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) VERTICAL(AIS), DE TOPO OU DE PERFIL

EXERCÍCIO 01 – 2002, Prova Modelo (código 409)
Represente o pentágono regular [ABCDE] contido num plano vertical α. Esta figura é a base de uma pirâmide pentagonal recta situada no primeiro diedro. Represente igualmente o sólido, assinalando com a convenção gráfica adequada as arestas invisíveis.

Dados:

o centro da figura é o ponto O (5; 5; 4);
o plano vertical α intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
o vértice A do pentágono está no plano horizontal de projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O;
a pirâmide tem 8 de altura.

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J. Paralelismo de rectas e planos

EXERCÍCIO 11.	Planos paralelos	GD-A 708	2017, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Recta paralela a um plano	GD-A 708	2017, 1ª Fase
EXERCÍCIO 09.	Planos paralelos	GD-A 708	2015, 1ª Fase
EXERCÍCIO 08.	Planos paralelos	GD-A 708	2014, 1ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Planos paralelos	GD-A 708	2013, Época Especial
EXERCÍCIO 06.	Planos paralelos	GD-A 708	2012, 2ª Fase
EXERCÍCIO 05.	Recta paralela a um plano	GD-A 708	2011, 1ª Fase
EXERCÍCIO 04.	Planos paralelos	GD-A 708	2010, 2ª Fase
EXERCÍCIO 03.	Recta paralela a dois planos	GD-A 708	2008, 2ª Fase
EXERCÍCIO 02.	Recta paralela a dois planos	GD 121	1982, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 01.	Recta paralela a um plano	GD 121	1982, 1ª Fase, 1ª Ch.

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 11 – Exame de 2017, 2ª fase (código 708)

Determine os traços do plano θ, paralelo ao plano α.

Dados:

o plano α é definido pelos pontos A (-2; 4; 3), B (-4; 5; 3) e C (1; 4; 0).
o plano θ contém o ponto P (3; -4; 2).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 10 – Exame de 2017, 1ª fase (código 708)

Determine as projecções da recta r, paralela a um plano de rampa δ.

Dados:

o plano δ contém a recta de perfil p;
a recta p contém o ponto A (0; -2; 4) e define um ângulo de 30º com o plano horizontal de projecção;
o traço horizontal da recta p tem afastamento negativo;
a recta r contém o ponto T (-4; 8; 2);
a projecção horizontal da recta r define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x.

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 09 – Exame de 2015, 1ª fase (código 708)
Determine os traços do plano θ paralelo ao plano de rampa ν.

Dados:

o plano ν contém a recta de perfil p, definida pelos pontos A (3; 3; 6) e B com 9 de afastamento e -2 de cota;
o plano θ contém o ponto P de abcissa nula e -5 de cota, pertencente ao plano frontal de projecção.

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 08 – Exame de 2014, 1ª fase (código 708)
Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados:

o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao bissector dos diedros ímpares;
o ponto B, com -6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao bissector dos diedros pares;
ponto C (-8; 4; -4);
o plano θ contém P (-2; 2; -6).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 07 – 2013, Época especial (código 708)
Determine os traços do plano µ paralelo ao plano θ.

Dados:

o plano θ contém a recta h e o ponto M (5; 0; 0);
a recta h é horizontal e contém o ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 2 de cota;
a projecção horizontal da recta h faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;
o plano µ contém o ponto P (– 4; 2; 6).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 06 – 2012, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano µ paralelo ao plano δ.

Dados:

o plano δ contém as rectas fronto-horizontais a e b;
a recta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;
a recta b pertence ao bissector dos diedros pares e tem 4 de cota;
o plano µ contém o ponto P (6; 5; 6).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 05 – 2011, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções do ponto I, traço da recta b no plano bissector dos diedros pares.

Dados:

a recta b é paralela ao plano δ;
a recta b contém P (− 7; 7; − 2);
a projecção horizontal da recta b faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x;
o plano δ está definido pelos pontos R (3; 6; 3), S (0; 6; 5) e T (− 3; 1; 5).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 04 – 2010, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano π, que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados:

o plano α é definido pelas rectas a e b;
a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x,ângulos de 45º, de abertura para a direita e de 30º, de abertura para a esquerda, respetivamente;
a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
o plano π contém o ponto P (− 6; 3; − 4).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 03 – 2008, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta b paralela ao plano α e ao plano bissector dos diedros pares.

Dados:

o plano α é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
a recta b contém o ponto B (− 5; 3; 2).

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 02 – 1982, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Desenhe as projecções da recta s paralela ao plano ω e ao bissector dos diedros ímpares e determine os seus traços.

Dados:

o traço horizontal do plano ω faz com o eixo x, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 40º de abertura para a esquerda e o traço frontal faz com a mesma linha, no semiplano frontal superior, um ângulo de 60º de abertura para a direita;
a recta s contém o ponto P de 2 de afastamento e – 5 de cota e a sua linha de referência dista 4 cm para a direita de N, intersecção do plano ω com o eixo x.

PARALELISMO DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 01 – 1982, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Represente, pelas projecções dos seus traços, a recta s de perfil, paralela ao plano de rampa α.

Dados:

o traço frontal do plano α tem – 1,5 de cota e o traço horizontal do plano, 5 de afastamento;
a recta de perfil s contém um ponto P de 3 de afastamento e 2 de cota.

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K. Perpendicularidade de rectas e planos

EXERCÍCIO 12.	Planos perpendiculares	GD-A 708	2016, 2ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Planos perpendiculares	GD-A 708	2015, 2ª Fase
EXERCÍCIO 10.	Rectas perpendiculares	GD-A 708	2013, 2ª Fase
EXERCÍCIO 09.	Planos perpendiculares	GD-A 708	2012, Época Especial
EXERCÍCIO 08.	Planos perpendiculares	GD-A 708	2012, 1ª Fase
EXERCÍCIO 07.	Rectas perpendiculares	GD-A 708	2010, 1ª Fase
EXERCÍCIO 06.	Planos perpendiculares	GD-A 708	2007, 2ª Fase
EXERCÍCIO 05.	Recta perpendicular a um plano	GD-A 708	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 04.	Planos perpendiculares	GD 121	1989, 2ª Fase
EXERCÍCIO 03.	Recta perpendicular a um plano	GD 121	1989, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Recta perpendicular a um plano	GD 121	1982, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Recta perpendicular a um plano	GD 121	1982, 1ª Fase, 2ª Ch.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 12 – 2016, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano θ perpendicular ao plano α.

Dados:

o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (0; 2; 4);
o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o plano θ contém o ponto P (0; 4; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º de abertura para a esquerda, com o eixo x.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 11 – Exame de 2015, 2ª fase (código 708)
Determine os traços do plano α perpendicular ao plano de rampa δ.

Dados:

o plano δ é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;
o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β₁₃;
o plano α contém o ponto P (0; 9; 8);
o traço frontal do plano α forma um ângulo de 45º de abertura para a esquerda, com o eixo x.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 10 – 2013, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta passante s, perpendicular à recta r no ponto A.

Dados:

a recta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;
a projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 09 – 2012, Época especial (código 708)
Determine os traços do plano de rampa m perpendicular ao plano de rampa α.

Dados:

os traços horizontal e frontal de α têm, respetivamente, − 5 de afastamento e 7 de cota;
o plano m contém o ponto R pertencente ao bissector dos diedros ímpares, β₁₃, com 0 de abcissa e 2 de cota.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 08 – 2012, 1.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.

Dados:

o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
o plano δ contém o ponto P (– 6; 7; 5).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 07 – 2010, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

Dados:

a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 06 – 2007, 2.ª Fase (código 708)
Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano α.

Dados:

o plano α contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h;
a recta h tem 8 de cota, faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa;
o plano β contém os pontos P (0; 2; 4) e R (– 5; 0; 0).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 05 – 2006, 2.ª Fase (código 708)
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano α.

Dados:

o plano oblíquo α é definido pelos pontos A (5; – 6; 6), B (0; 1,5; 3) e C (– 5; 5; 3);
a recta p contém o ponto Q (– 7; 5; 10).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 04 – 1989, 2.ª Fase (código 121)
Determine, pelos seus traços, o plano α, perpendicular ao plano β.

Dados:

o plano α contém a recta de perfil que passa por T (– 15; – 4; 2) e pelo eixo x;
o plano β é definido por A (– 2; – 8; 5), B (– 6; 2; 3) e C (– 13; 4; 7).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 03 – 1989, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a recta m que contém o ponto M (0; 9; 3) e é perpendicular ao plano α definido pelas rectas paralelas a e b.

Dados:

a recta a contém os pontos P (– 1; 7; 9) e Q (– 10; 8; 12) e a recta b contém o ponto R (– 6; 9; 8).

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 02 – 1982, 2.ª Fase (código 121)
Represente, pelas projecções dos seus traços, a recta s, perpendicular ao plano passante β, no seu ponto P, de – 2 de afastamento e– 4 de cota.

PENDICULARIDADE DE RECTAS E DE PLANOS

EXERCÍCIO 01 – 1982, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Represente pelas suas projecções a recta s, perpendicular ao plano α no seu ponto P de – 5 de afastamento e 3 de cota.

Dados:

o traço frontal do plano α faz com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a direita;
as projecções do traço horizontal do plano coincidem com as projecções de nome contrário do traço frontal.

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L. Problemas métricos: distâncias

EXERCÍCIO 30.	Distância de um ponto a um plano	GD-A 708	2017, 2ª Fase
EXERCÍCIO 29.	Distância de um ponto a um plano	GD-A 708	2017, 1ª Fase
EXERCÍCIO 28.	Distância de um ponto a uma recta	GD-A 708	2013, Época Especial
EXERCÍCIO 27.	Distância de um ponto a um plano	GD-A 708	2012, 2ª Fase
EXERCÍCIO 26.	Distância de um ponto a um plano	GD-A 708	2011, 2ª Fase
EXERCÍCIO 25.	Distância entre dois planos paralelos	GD-A 708	2009, 2ª Fase
EXERCÍCIO 24.	Distância de um ponto a uma recta	DGD-A 408	2007, 2ª Fase
EXERCÍCIO 23.	Distância de um ponto a uma recta	DGD-A 408	2006, 2ª Fase
EXERCÍCIO 22.	Distância entre dois planos paralelos	DGD-A 408	2004, 2ª Fase
EXERCÍCIO 21.	Distância entre dois pontos	DGD-A 408	2004, 1ª Fase
EXERCÍCIO 20.	Distância de um ponto a uma reta	DGD-A 408	2003, 2ª Fase
EXERCÍCIO 19.	Distância de um ponto a um plano	DGD-A 408	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 18.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	2002, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 17.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	2001, 2ª Fase
EXERCÍCIO 16.	Distância entre dois pontos	GD 121	2001, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 15.	Distância de um ponto a uma reta	GD 121	2000, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 14.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1999, 1ª fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 13.	Distância entre duas rectas paralelas	GD 121	1998, 1ª fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 12.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1997, 2ª Fase
EXERCÍCIO 11.	Distância de um ponto a uma reta	GD 121	1997, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 10.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1994, 2ª Fase
EXERCÍCIO 09.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1994, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 08.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1992, 1ª Fase, 2ª Chamada
EXERCÍCIO 07.	Distância de um ponto a uma reta	GD 121	1987, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 06.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1986, 1ª Fase, 2ª Ch.
EXERCÍCIO 05.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1985, 2ª Fase
EXERCÍCIO 04.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1984, 2ª Fase
EXERCÍCIO 03.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1983, 1ª Fase, 1ª Ch.
EXERCÍCIO 02.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1981, 2ª Fase
EXERCÍCIO 01.	Distância de um ponto a um plano	GD 121	1981, 1ª Fase, 2ª Ch.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 30 – 2017, 2.ª Fase (código 708)

Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento de recta que corresponde à distância do ponto P ao plano de rampa ρ.

Dados:

o plano ρ contém o ponto M (9; 2; 7) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
o ponto P tem 4 de abcissa e -3 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares, β₂₄.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 29 – 2017, 1.ª Fase (código 708)

Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento de recta que corresponde à distância do ponto P ao plano θ.

Dados:

o plano θ contém os pontos R (0; 2; 4) e S (-2; 4; 4) e é perpendicular ao plano bissector dos diedros ímpares;
o ponto P tem -5 de abcissa, 5 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 28 – 2013, Época especial (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P à recta de perfil b.

Dados:

ponto P (4; 4; – 4);
a recta b contém o ponto R (0; 3; 7) e faz um ângulo de 30º com o plano frontal de projecção;
o traço horizontal da recta b tem afastamento positivo.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 27 – 2012, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano ω .

Dados:

P (– 3; 10; – 2);
o plano ω está definido pelo ponto A (0; – 1; 5) e pela recta de perfil p;
a recta p contém o ponto B (4; 2; 5) e o seu traço horizontal tem 6 de afastamento

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 26 – 2011, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados:

o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
o plano α é definido pelo ponto A (– 1; 4; 2) e pela recta r;
a recta r contém o ponto M (6; – 6; 9);
o ponto F, traço frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 25 – 2009, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância entre dois planos paralelos, α e β.

Dados:

o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com – 10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; – 3).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 24 – 2007, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P à recta passante r.

Dados:

o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 4 de abcissa e 4,5 de cota;
os traços da recta r têm 4 de abcissa;
as projecções da recta fazem, ambas, ângulos de 50° (de aberturaà direita) com o eixo x.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 23 – 2006, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância entre o ponto P e a recta de perfil p.

Dados:

o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;
a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 22 – 2004, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância entre os planos paralelos α e β.

Dados:

o plano α contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto F_n (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura à direita) com o eixo x;
o plano β contém uma recta oblíqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H_b (3; 4; 0) e F_b (– 3; 0; 6).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 21 – 2004, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projecções.

Dados:

o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota;
o ponto H é o traço horizontal da recta p;
o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo a, cujos traços horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respetivamente,ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 20 – 2003, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P à recta frontal f.

Dados:

o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 0 de abcissa e 7 de cota;
o traço horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
a recta faz um ângulo de 30º (de abertura à direita) com o plano horizontal de projecção, medido no primeiro diedro.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 19 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados:

o ponto P pertence ao plano β₁₃ tem 0 de abcissa e 7 de cota;
o plano α intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, ambos, ângulos de 45º (de abertura para a direita) com o eixo x.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 18 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto Q ao plano oblíquo α.

Dados:

o ponto Q pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 5 de abcissa e 8 de cota;
o plano α contém os pontos A (– 2; 3; 4), B (– 4; 5; 5) e C (– 6; 3; 8).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 17 – 2001, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados:

o ponto P pertence ao plano frontal de projecção e tem – 8 de abcissa e 2 de cota;
o plano α contém o ponto A (– 4; 2; 2) e intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
o traço frontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a direita.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 16 – 2001, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a verdadeira grandeza do segmento [XZ], cujos extremos são os pontos de intersecção da recta r com o plano bissector dos diedros ímpares e com o plano α.

Dados:

a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares;
a projecção frontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, intersecta o plano horizontal de projecção no ponto H (– 7; 10; 0);
o plano oblíquo α intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
os traços horizontal e frontal do plano fazem, respetivamente e com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos de abertura para a direita.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 15 – 2000, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P (3; 5; 5) à recta oblíqua r.

Dados:

a recta r, cuja projecção horizontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, pertence ao bissector dos diedros pares e intersecta o eixo x num ponto com – 2 de abcissa.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 14 – 1999, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P, com – 5 de abcissa e pertencente ao eixo x, ao plano oblíquo α.

Dados:

o plano α é definido pelo ponto A (4; 5; 1) e pelo seu traço frontal, que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, intersectando-o no ponto X, com abcissa 4.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 13 – 1998, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância entre as rectas r e s.

Dados:

a recta r é oblíqua, paralela ao bissector dos diedros ímpares, contém o ponto A (– 2; 4; 2) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º de abertura para a direita;
o traço horizontal da recta s é o ponto H (– 6; 2; 0);
a recta s é paralela à recta r.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 12 – 1997, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância de um ponto P a um plano oblíquo α.

Dados:

o ponto P pertence ao eixo x e tem – 4 de abcissa;
o plano α, que intersecta o eixo x 8 cm à esquerda de P, é definido pelo seu traço frontal, que faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x, e por uma recta horizontal n.
a recta n faz um ângulo de 60º de abertura para a direita com o plano frontal de projecção, intersectando-o num ponto com 4 de cota.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 11 – 1997, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P (2; 3; 4) a uma recta de perfil r que contém o ponto A (– 6; 2; 8) e é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 10 – 1994, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que constitui a distância do ponto P ao plano α.

Dados:

o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 10 de abcissa e – 5 de cota;
o plano α é passante pelo eixo x e contém o ponto M (– 2; 8; 3).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 09 – 1994, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto A ao plano α.

Dados:

uma recta de maior declive do plano α é a recta d, cujas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos respetivamente de 45º com a abertura para a direita e 45º com abertura para a esquerda;
o traço frontal da recta d é o ponto F (0; 0; 7);
o ponto A tem as seguintes coordenadas: 4 de abcissa, 7 de afastamento e 6 de cota.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 08 – 1992, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que constitui a distância entre o ponto P (– 10; 8; 7) e o plano que contém os pontos A (– 1; 2; 8), B (– 6; 6; 5) e C (– 7; 1; 6).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 07 – 1987, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que representa a distância do ponto P à recta r.

Dados:

o ponto P pertence ao eixo x e tem de abcissa – 3;
a recta r pertence ao β₂₄ e a sua projecção frontal faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 30º com abertura para a esquerda;
a recta contém o ponto A (– 9; – 3; 3).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 06 – 1986, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância de um ponto P (4; 7; 6) a um plano α definido por uma das suas rectas de maior declive d.

Dados:

o traço frontal da recta d é o ponto F (0; 0; 7);
a projecção frontal da recta d faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 45º com a abertura para a direita e a projecção horizontal faz, também com o eixo x, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 45º com a abertura para a esquerda.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 05 – 1985, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento distância do ponto A (0; – 2; 4) ao plano α de rampa que passa pelo eixo x e contém o ponto B (3; 5; 1).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 04 – 1984, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que representa a distância do ponto P (– 4; – 1; – 8) a um plano de rampa passante que contém o ponto A (0; – 2; 3).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 03 – 1983, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a distância do ponto J que pertence ao bissector dos diedros pares ao plano definido pelas rectas a e b.

Dados:

a recta a é definida pelos pontos E e F, enquanto a recta b é definida por F e G;
o ponto J tem 3 de cota;
o ponto E tem afastamento nulo e 2 de cota;
o ponto F tem 9,5 de afastamento e cota igual a 4,5;
o ponto G tem 1,5 de afastamento e pertence ao bissector dos diedros pares;
E₀F₀ = 2,5 cm, F₀J₀ = 2,5 cm, J₀G₀ = 3,5 cm (da esquerda para a direita).

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 02 – 1981, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância de um ponto X ao plano α, definido pelas rectas AB e BC.

Dados:

o ponto X pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 10 de afastamento;
o ponto A tem 6,5 de afastamento e 5 de cota;
o ponto B tem 4,5 de afastamento e 6 de cota;
o ponto C tem 7 de afastamento e 1 de cota;
A₀B₀ = 2 cm, B₀C₀ = 2 cm, C₀X₀ = 4 cm;
B₀ situa-se à direita de A₀, C₀ à direita de B₀ e X₀ à direita de C₀.

PROBLEMAS MÉTRICOS: DISTÂNCIAS

EXERCÍCIO 01 – 1981, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto X ao plano α definido pelas rectas n e f concorrentes no ponto P.

Dados:

o ponto P tem 2 de afastamento e 3 de cota;
a recta n é horizontal e forma com o plano frontal de projecção um ângulo de 45º de abertura para a direita;
a recta f é frontal e forma com o plano horizontal de projecção um ângulo de 30º de abertura para a esquerda;
o ponto X tem 3 de afastamento, 5 de cota e a sua linha de chamada coincide com a linha de chamada do traço horizontal da recta frontal f.

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