Estes exercícios integram o conjunto de exames nacionais de Geometria Descritiva, organizados por temas pela Professora Vera Viana, com a colaboração da Professora Markéta Jakoubková nos exames mais antigos e na Época Especial. Para mais informações gerais sobre o projeto e sobre o acesso aos enunciados e propostas de resolução, consulte a página principal de exercícios.
| EXERCÍCIO 58. | Ângulo de um plano de perfil com um plano oblíquo | GD-A 708 | 2016, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 57. | Ângulo de um plano com o plano frontal de projecção | GD-A 708 | 2015, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 56. | Ângulo entre as direcções de duas rectas enviesadas | GD-A 708 | 2015, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 55. | Ângulo de uma recta com um plano | GD-A 708 | 2014, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 54. | Ângulo de uma recta com um plano | GD-A 708 | 2014, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 53. | Ângulo entre dois planos | GD-A 708 | 2013, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 52. | Ângulo de um plano com o plano horizontal de projecção | GD-A 708 | 2012, Época Especial | ||
| EXERCÍCIO 51. | Ângulo de uma recta com um plano | GD-A 708 | 2012, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 50. | Ângulo de uma recta com um plano | GD-A 708 | 2011, Época Especial | ||
| EXERCÍCIO 49. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD-A 708 | 2011, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 48. | Ângulo entre dois planos | GD-A 708 | 2010, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 47. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD-A 708 | 2009, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 46. | Ângulo de um plano com o plano frontal de projecção | GD-A 708 | 2008, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 45. | Ângulo entre dois planos | DGD-A 408 | 2007, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 44. | Ângulo entre duas rectas enviesadas | GD-A 708 | 2006, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 43. | Ângulo de uma recta com um plano | DGD-A 408 | 2006, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 42. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | DGD-A 408 | 2005, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 41. | Ângulo entre dois planos | DGD-A 408 | 2005, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 40. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | DGD-A 408 | 2003, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 39. | Ângulo entre dois planos | DGD-A 408 | 2003, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 38. | Ângulo de um plano com o plano horizontal de projecção | DGD-A 408 | 2002, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 37. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | DGD-A 408 | 2002, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 36. | Ângulo de um plano com o plano frontal de projecção | DGD-A 408 | 2002, Prova Modelo | ||
| EXERCÍCIO 35. | Ângulo entre as direcções de duas rectas enviesadas | GD 121 | 2002, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 34. | Ângulo de uma recta com um plano | GD 121 | 2002, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 33. | Ângulo de uma recta com um plano | GD 121 | 2001, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 32. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 2000, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 31. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 2000, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 30. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1999, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 29. | Ângulo de uma recta com um plano | GD 121 | 1999, 1ª fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 28. | Ângulo de um plano com o plano frontal de projecção | GD 121 | 1998, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 27. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1998, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 26. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1997, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 25. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1996, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 24. | Ângulo de uma recta com um plano | GD 121 | 1995, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 23. | Bissectriz de um ângulo | GD 121 | 1995, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 22. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1994, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 21. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1993, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 20. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1993, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 19. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1992, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 18. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1991, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 17. | Ângulo entre dois planos (problema inverso) | GD 121 | 1990, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 16. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1990, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 15. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1990, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 14. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1989, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 13. | Bissector de um diedro | GD 121 | 1988, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 12. | Ângulo de uma recta com um plano | GD 121 | 1988, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 11. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1987, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 10. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1986, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 09. | Ângulo entre as direcções de duas rectas enviesadas | GD 121 | 1985, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 08. | Ângulo entre dois planos | GD 121 | 1985, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 07. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1983, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 06. | Ângulo de um plano com o plano horizontal de projecção | GD 121 | 1983, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 05. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1982, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 04. | Ângulo de um plano com o plano horizontal de projecção | GD 121 | 1982, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 03. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1981, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 02. | Ângulo entre duas rectas concorrentes | GD 121 | 1981, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 01. | Ângulo de uma recta com o plano frontal de projecção | GD 121 | 1981, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 58 – 2016, 1.ª Fase (código 708)
Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos π e θ.
Destaque, a traço mais forte, as semirrectas que definem o ângulo.
Dados:
- o plano π é de perfil com -4 de abcissa;
- o plano θ é definido pela recta de maior declive d, que contém o ponto A (0; 3; 2);
- as projecções horizontal e frontal da recta d fazem, respectivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 57 – Exame de 2015, 2ª fase (código 708)
Determine a amplitude do ângulo entre o plano frontal de projecção e o plano oblíquo w.
Dados:
- o plano w é definido pelo ponto A (-4; 6; 5) e por uma recta horizontal h;
- a recta h contém o ponto B (0; 4; 2) e forma um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 56 – Exame de 2015, 1ª fase (código 708)
Determine a amplitude do ângulo entre as direcções das rectas a e b.
Dados:
- a recta a contém o ponto P (2; 6; 3);
- as projecções horizontal e frontal da recta a formam ângulos de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
- a recta b é horizontal, contém o ponto S (-6; 5; 2) e forma um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 55 – 2014, 2ª fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pela recta oblíqua r e o plano de topo θ .
Dados:
- a recta r é definida pelos pontos A (-4; 2; 5) e B (0; 6; -1);
- o plano θ contém o ponto S do eixo x com 3 de abcissa e faz um diedro de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 54 – 2014, 1ª fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas p e f, concorrentes no ponto B.
Dados:
- a recta p de perfil é definida pelo ponto A (2; 4; 2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 53 – 2013, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ .
Dados:
- o plano δ é vertical, contém o ponto M do eixo x com – 3 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
- o plano θ é de topo, contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa a faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 52 – 2012, Época especial (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e o plano horizontal de projecção.
Dados:
- o plano δ está definido pelas rectas r e s concorrentes no ponto P (3; 4; 2);
- a recta r é paralela ao bissector dos diedros pares, β24¸e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
- a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 51 – 2012, 1.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a recta horizontal h e o plano ω .
Dados:
- o plano ω está definido por uma das suas rectas de maior declive d;
- o traço horizontal da recta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
- a projecção horizontal da recta d faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;
- o traço frontal da recta d tem 4 de cota;
- a recta h contém o ponto P (0; – 1; 7) e faz um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 50 – 2011, Época especial (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo, formado pela recta passante s e pelo plano oblíquo ω.
Dados:
- o plano ω contém os pontos F (– 5; 0; 7), G (– 9; 0; 0) e H (– 6; 2; 0);
- a recta s cruza o eixo x no ponto M (7; 0; 0);
- as projecções, horizontal e frontal, da recta s, fazem, respetivamente, ângulos de 30º e de 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 49 – 2011, 1.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas a e p.
Dados:
- as rectas a e p são concorrentes no ponto C (0; 4; 5);
- o ponto F, traço frontal da recta a, tem 8 de abcissa e – 3 de cota;
- a recta p é de perfil;
- o ponto H, traço horizontal da recta p, tem 8 de afastamento.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 48 – 2010, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ .
Dados:
- o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;
- o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
- o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 47 – 2009, 1.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.
Dados:
- a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β24);
- a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
- o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
- a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
- as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 46 – 2008, 2.ª Fase (código 708)
Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projecção.
Dados:
- o plano θ é definido pela recta d, uma recta de maior declive que contém o ponto P (0; 4; 2);
- a projecção horizontal da recta d faz um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 45 – 2007, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos α e β.
Dados:
- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H (– 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;
- os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços do plano β intersectam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 44 – 2006, 1.ª Fase (código 708)
Determine graficamente a amplitude da direcção das duas rectas enviesadas n e f.
Dados:
- a recta n é horizontal, intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (– 4; 0; 4) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a direita;
- a recta f é frontal, intersecta o plano horizontal de projecção no ponto Hf (4; 4; 0) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 43 – 2006, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pela recta r com o plano oblíquo α.
Dados:
- a recta r é paralela ao eixo x e tem 4 de afastamento e 6 de cota;
- os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem com o eixo x, respetivamente, ângulos de 45º e de 60º (ambos de abertura para a direita).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 42 – 2005, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelas rectas f e b.
Dados:
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; – 4; 4);
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 20º (com abertura para a direita) com o plano horizontal de projecção;
- a recta b está contida no β24, e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o eixo x.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 41 – 2005, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos α e β.
Dados:
- os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente,ângulos de 45º (de abertura à esquerda) e 30º (de aberturaà direita) com o eixo x e intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa;
- os traços do plano β intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano β é paralelo ao traço horizontal do plano α, e o seu traço frontal é perpendicular ao traço frontal do plano α.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 40 – 2003, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 408)
Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelas rectas n e p.
Dados:
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 6; 5);
- a recta p é de perfil e intersecta o plano frontal de projecção no ponto F, com 8 de cota;
- a recta n é horizontal e faz um ângulo de 45º (de abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 39 – 2003, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 408)
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos α e β.
Dados:
- o plano α é vertical, faz um diedro de 45º com o plano frontal de projecção (com abertura à direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 de abcissa;
- os traços do plano β fazem, ambos, ângulos de 60º com o eixo x (o horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com – 4 de abcissa.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 38 – 2002, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelo plano oblíquo α com o plano horizontal de projecção.
Dados:
- o plano α intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, com o eixo x, respetivamente, ângulos de 45º e de 30º (ambos com abertura para a esquerda).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 37 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 408)
Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelas rectas n e f.
Dados:
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 5; 3);
- a recta n é horizontal e faz um ângulo de 45º (de abertura para a direita) com o plano frontal de projecção;
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 60º (de abertura para a direita) com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 36 – 2002, Prova Modelo (código 408)
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelo plano oblíquo α com o plano frontal de projecção.
Dados:
- o plano α é definido pelo ponto P (0; – 4; 2) e pela recta horizontal n;
- a recta horizontal n contém o ponto A (3; 3; 4) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 35 – 2002, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude da direcção das duas rectas enviesadas r e s.
Dados:
- a recta r contém os pontos A (0; 7; 5) e B (– 3; 3; 1);
- a recta s contém o ponto C (5; 5; 5) e as suas projecções, horizontal e frontal, fazem, respetivamente, ângulos de 45º e 60º com o eixo x, ambos de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 34 – 2002, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Represente pelas suas projecções o triângulo [ABC], que define um plano oblíquo α. Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pela recta r com o plano α, definido pelo triângulo [ABC].
Dados:
- o ponto A, com abcissa nula, tem 2 de afastamento e 7 de cota;
- o ponto B tem – 5 de abcissa e 2 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares;
- o lado [AC] é horizontal, e o ponto C tem – 8 de abcissa e 10 de afastamento;
- a recta r é paralela ao bissector dos diedros ímpares;
- esta recta intersecta o plano frontal de projecção no ponto F (– 5; 0; 5), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º, de aberturaà esquerda, com o eixo x.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 33 – 2001, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta frontal f com o plano oblíquo α.
Dados:
- o plano α é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares e o seu traço horizontal intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula, fazendo, com este, um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- a recta frontal f contém o ponto A (0; 4; 9) a faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 32 – 2000, 2.ª Fase (código 121)
Represente, pelas suas projecções, dois triângulos, [ABC] e [ABD], com um lado comum frontal. Determine a amplitude do diedro formado pelos dois planos α e β, definidos, cada um deles, por cada um dos dois triângulos.
Dados:
- o ponto A, com – 5 de abcissa e 6 de afastamento, pertence ao plano horizontal de projecção;
- o ponto B tem – 10 de abcissa e 8 de cota;
- o terceiro vértice do triângulo [ABC] pertence ao plano frontal de projecção e tem – 2 de abcissa e 8 de cota;
- o terceiro vértice do triângulo [ABD] define, com o ponto B, uma recta de perfil e tem 10 de afastamento e 4 de cota.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 31 – 2000, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta r com a recta p.
Dados:
- a recta r é definida pelos pontos A (3; 5; 1) e B (– 4; – 2; 8);
- a recta de perfil p, concorrente com a recta r num ponto P, intersecta o plano horizontal de projecção no ponto H, de abcissa nula e com 4 de afastamento.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 30 – 1999, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta r com o traço frontal do plano α.
Dados:
- o traço horizontal de α faz, com o eixo x, um ângulo de 60º, de abertura à direita, intersectando-o no ponto de abcissa nula;
- o ponto A tem – 7 de abcissa e 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares.
- a recta r pertence ao plano α, contém o ponto A e intersecta o plano horizontal de projecção no ponto H, com 6 de afastamento.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 29 – 1999, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta oblíqua r com o plano oblíquo α.
Dados:
- o plano α é perpendicular ao bissector dos diedros pares e o seu traço horizontal intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula, fazendo com este um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- a recta oblíqua r contém o ponto A (4; 5; 1) e intersecta o plano frontal de projecção no ponto F (– 6; 0; 6).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 28 – 1998, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do diedro formado por um plano oblíquo α com o plano frontal de projecção.
Dados:
- o plano α é definido pelo ponto P (0; – 4; 2) e por uma recta horizontal n, que passa pelo ponto A (3; 3; 4) e que faz 45º de abertura para a esquerda com o plano frontal de projecção.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 27 – 1998, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta r com o traço frontal do plano β.
Dados:
- o plano β é perpendicular ao bissector dos diedros pares;
- o traço frontal do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- a recta r está contida no plano β;
- o traço horizontal da recta r tem afastamento – 4;
- o traço frontal da recta tem 8 de cota.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 26 – 1997, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas concorrentes n e p.
Dados:
- a recta n é horizontal e contém o ponto A (6; 2; 2);
- a recta p é de perfil e é definida pelos seus traços nos planos de projecção: o traço horizontal é o ponto H (– 4; 9; 0) e o traço frontal é o ponto F (– 4; 0; 9).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 25 – 1996, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelos planos α e β, sabendo que a recta r, definida pelos pontos H (0; 5; 0) e F (– 6; 0; 6), é recta de maior declive do plano α e recta de maior inclinação do plano β.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 24- 1995, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pela recta r com o plano δ.
Dados:
- a recta r tem por traços os pontos H (0; 6; 0) e F (– 8; 0; 3);
- o plano δ é de rampa, paralelo ao β13 e o seu traço horizontal tem 3 de afastamento.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 23 – 1995, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções da recta b, bissectriz do menor ângulo formado por duas rectas r e s, concorrentes no ponto P (0; 4; 2).
Dados:
- a recta r contém ainda o ponto A (0; 1; 5);
- o traço horizontal da recta s é o ponto H (– 5; 1; 0).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 22 – 1994, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do diedro formado pelos planos α e β.
Dados:
- os pontos em que os planos α e β intersectam o eixo x situam-se a uma distância de 5 um do outro, ficando o de α à esquerda do de β;
- o plano α é perpendicular ao bissector dos diedros pares e o seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º com abertura para a direita;
- os traços horizontal e frontal do plano β fazem, com o eixo x,ângulos respetivamente de 30º e 60º, ambos com abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 21 – 1993, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas a e b, concorrentes no ponto O (5; 3).
Dados:
- a projecção frontal da recta a faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita, e a sua projecção horizontal é paralela à sua projecção frontal;
- a projecção horizontal da recta b faz com o eixo x um ângulo de 30º, com abertura também para a direita, e a projecção frontal é paralela à sua projecção horizontal.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 20 – 1993, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s pertencentes ao plano α perpendicular ao β24.
Dados:
- o plano α tem um ponto comum ao eixo x com – 8 de abcissa e o seu traço frontal faz com o eixo x um ângulo de 45º com abertura para a direita;
- a recta r é oblíqua e os seus traços frontal e horizontal têm de abcissas, respetivamente, – 11 e – 16;
- a recta s é passante e tem um ponto A comum à recta r com 4 de cota.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 19 – 1992, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo das rectas n e f concorrentes no ponto O (– 2; 5; 4).
Dados:
- a recta n é horizontal e faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o plano frontal de projecção;
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 45º com o plano horizontal de projecção, também com a abertura para a direita.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 18 – 1991, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelos planos π e δ.
Dados:
- π é um plano de perfil com abcissa de – 4;
- δ é um plano perpendicular ao β24, contém o ponto M (– 10; 0; 0), e o seu traço horizontal faz com o eixo x 60º de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 17 – 1990, 2.ª Fase (código 121)
Determine os traços de um plano α que faça com o plano β um ângulo de 30º.
Dados:
- o plano β é passante e intersecta o plano α segundo uma recta i, fronto-horizontal, a qual contém o ponto P (– 4; 3; 6);
- o plano α passa pelos primeiro, segundo e terceiro diedros.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 16 – 1990, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo de duas rectas a e b complanares.
Dados:
- as rectas são concorrentes no ponto O (2; 3);
- a recta a é uma das rectas de maior inclinação do plano;
- a sua projecção horizontal faz com o eixo x um ângulo de 45º com abertura para a direita e a sua projecção frontal faz com o eixo x um ângulo de 45º com abertura para a esquerda;
- a recta b contém um ponto F (0; 6) do plano.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 15 – 1990, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do diedro formado pelos planos π e θ .
Dados:
- o plano π é um plano oblíquo definido pelos seus traços que fazem com o eixo x ângulos de 45º de aberturas para a esquerda;
- o plano θ é de perfil e situa-se a 6 cm para a esquerda do ponto de cota e afastamento nulos do plano π
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 14 – 1989, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do diedro formado pelos planos α e β.
Dados:
- o plano α contém o ponto P (0; 0; 0) e é definido pelos seus traços que fazem com o eixo x ângulos de aberturas de 45º à direita;
- o plano β contém os pontos A (– 14; 3; 5), B (– 19; 3; 2) e C (– 12; 6,5; 5).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 13 – 1988, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine os traços do plano bissector ω do diedro formado pelos planos de rampa α e π.
Dados:
- o traço horizontal de π tem 6 de afastamento e o seu traço frontal tem 10 de cota;
- o traço horizontal de α tem – 6 de afastamento e o seu traço frontal tem 1 de cota.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 12 – 1988, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo que a recta r faz com o plano α.
Dados:
- a recta r contém o ponto R (5; 2), é paralela ao β24 e a sua projecção frontal faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 30º de abertura para a esquerda;
- o plano α contém o eixo x e o ponto P (4; 7).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 11 – 1987, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do diedro dos planos α e β.
Dados:
- o plano α contém os pontos A (0; 9; 2), B (– 3; 6; 5) e C (– 5; 7; 2);
- o plano β contém os pontos E (– 9; 5; 3), F (– 11; 5; 5) e G (– 13; 9; 2).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 10 – 1986, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado por duas rectas d e i.
Dados:
- as rectas d e i têm um ponto comum P (4; 3);
- a recta i é a recta de maior inclinação de α;
- a recta d é a recta de maior declive de α;
- o traço frontal de α faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 60º com a abertura para a esquerda;
- o traço horizontal de α faz com a mesma linha, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 30º de abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 09 – 1985, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.
Dados:
- a recta r é definida pelos pontos A (0; 2; 0,5) e B (– 4,5; 0,5; 5) e a recta s pelos pontos C (– 7; 0; 3) e D (– 8,5; 3,5; 1).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 08 – 1985, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelos planos α e β.
Dados:
- os planos α e β têm os seus pontos de cota e afastamento nulosà distância de 10 cm;
- o plano β é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares, com abertura de 60º para a esquerda e situa-se à direita de α;
- o plano α é perpendicular ao bissector dos diedros pares e o seu traço frontal faz com o eixo x um ângulo de 30º de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 07 – 1983, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do ângulo de duas rectas concorrentes.
Dados:
- os pontos A, B e C definem duas rectas concorrentes;
- o ponto A tem 3 de afastamento;
- o ponto B tem 5 de cota e é ponto de concorrência das duas rectas;
- os pontos A e B pertencem ao plano bissector dos diedros ímpares;
- o ponto C tem 6 de afastamento e 5 de cota;
- A0B0 = 2 cm, B0C0 = 2 cm (B0 situa-se à direita de A0 e C0 à direita de B0).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 06 – 1983, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo do plano α com o plano horizontal de projecção.
Dados:
- o plano α é definido pela recta de maior declive d;
- a recta de maior declive é definida pelos pontos A e B;
- A tem 2 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares;
- B tem 5 de afastamento e 7 de cota;
- A0B0 = 3 cm (B0 situa-se à direita de A0).
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 05 – 1982, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelos traços do plano π, definido pela recta horizontal n e pela recta frontal f concorrentes no ponto I do β24 e com – 3 de afastamento.
Dados:
- a projecção horizontal da recta n faz com o eixo x, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 40º de abertura para a direita e a projecção frontal da recta f faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 40º de abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 04 – 1982, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelo plano π e o plano horizontal de projecção.
Dados:
- o traço frontal do plano π faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda;
- o traço horizontal do plano π faz com o eixo x, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 40º de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 03 – 1981, 2.ª Fase (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas AB e BC.
Dados:
- o ponto A tem 6,5 de afastamento e 5 de cota;
- o ponto B tem 4,5 de afastamento e 6 de cota;
- o ponto C tem 7 de afastamento e 1 de cota;
- A0B0 = 2 cm, B0C0 = 2 cm;
- B0 situa-se à direita de A0, C0 à direita de B0.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 02 – 1981, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas n e f concorrentes no ponto P.
Dados:
- o ponto P tem 2 de afastamento e 3 de cota;
- a recta n é horizontal e forma com o plano frontal de projecção um ângulo de 45º de abertura para a direita;
- a recta f é frontal e forma com o plano horizontal de projecção um ângulo de 30º de abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Ângulos
EXERCÍCIO 01 – 1981, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a amplitude do ângulo da recta d com o plano frontal de projecção.
Dados:
- a recta d é uma recta de maior declive do plano α, definido pela recta r e pelo ponto P;
- o ponto P tem 3 de afastamento e 5 de cota;
- a recta r está contida no plano horizontal de projecção, forma com o eixo x um ângulo de 50º de abertura para a direita e o seu traço frontal dista 7 para a esquerda da linha de chamada do ponto P.