Estes exercícios integram o conjunto de exames nacionais de Geometria Descritiva, organizados por temas pela Professora Vera Viana, com a colaboração da Professora Markéta Jakoubková nos exames mais antigos e na Época Especial. Para mais informações gerais sobre o projeto e sobre o acesso aos enunciados e propostas de resolução, consulte a página principal de exercícios.
| EXERCÍCIO 30. | Distância de um ponto a um plano | GD-A 708 | 2017, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 29. | Distância de um ponto a um plano | GD-A 708 | 2017, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 28. | Distância de um ponto a uma recta | GD-A 708 | 2013, Época Especial | ||
| EXERCÍCIO 27. | Distância de um ponto a um plano | GD-A 708 | 2012, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 26. | Distância de um ponto a um plano | GD-A 708 | 2011, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 25. | Distância entre dois planos paralelos | GD-A 708 | 2009, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 24. | Distância de um ponto a uma recta | DGD-A 408 | 2007, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 23. | Distância de um ponto a uma recta | DGD-A 408 | 2006, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 22. | Distância entre dois planos paralelos | DGD-A 408 | 2004, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 21. | Distância entre dois pontos | DGD-A 408 | 2004, 1ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 20. | Distância de um ponto a uma reta | DGD-A 408 | 2003, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 19. | Distância de um ponto a um plano | DGD-A 408 | 2002, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 18. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 2002, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 17. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 2001, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 16. | Distância entre dois pontos | GD 121 | 2001, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 15. | Distância de um ponto a uma reta | GD 121 | 2000, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 14. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1999, 1ª fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 13. | Distância entre duas rectas paralelas | GD 121 | 1998, 1ª fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 12. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1997, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 11. | Distância de um ponto a uma reta | GD 121 | 1997, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 10. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1994, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 09. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1994, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 08. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1992, 1ª Fase, 2ª Chamada | ||
| EXERCÍCIO 07. | Distância de um ponto a uma reta | GD 121 | 1987, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 06. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1986, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 05. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1985, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 04. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1984, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 03. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1983, 1ª Fase, 1ª Ch. | ||
| EXERCÍCIO 02. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1981, 2ª Fase | ||
| EXERCÍCIO 01. | Distância de um ponto a um plano | GD 121 | 1981, 1ª Fase, 2ª Ch. | ||
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 30 – 2017, 2.ª Fase (código 708)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento de recta que corresponde à distância do ponto P ao plano de rampa ρ.
Dados:
- o plano ρ contém o ponto M (9; 2; 7) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
- o ponto P tem 4 de abcissa e -3 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares, β24.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 29 – 2017, 1.ª Fase (código 708)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento de recta que corresponde à distância do ponto P ao plano θ.
Dados:
- o plano θ contém os pontos R (0; 2; 4) e S (-2; 4; 4) e é perpendicular ao plano bissector dos diedros ímpares;
- o ponto P tem -5 de abcissa, 5 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 28 – 2013, Época especial (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P à recta de perfil b.
Dados:
- ponto P (4; 4; – 4);
- a recta b contém o ponto R (0; 3; 7) e faz um ângulo de 30º com o plano frontal de projecção;
- o traço horizontal da recta b tem afastamento positivo.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 27 – 2012, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano ω .
Dados:
- P (– 3; 10; – 2);
- o plano ω está definido pelo ponto A (0; – 1; 5) e pela recta de perfil p;
- a recta p contém o ponto B (4; 2; 5) e o seu traço horizontal tem 6 de afastamento
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 26 – 2011, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
- o plano α é definido pelo ponto A (– 1; 4; 2) e pela recta r;
- a recta r contém o ponto M (6; – 6; 9);
- o ponto F, traço frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 25 – 2009, 2.ª Fase (código 708)
Determine, graficamente, a distância entre dois planos paralelos, α e β.
Dados:
- o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com – 10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
- o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; – 3).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 24 – 2007, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P à recta passante r.
Dados:
- o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 4 de abcissa e 4,5 de cota;
- os traços da recta r têm 4 de abcissa;
- as projecções da recta fazem, ambas, ângulos de 50° (de aberturaà direita) com o eixo x.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 23 – 2006, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância entre o ponto P e a recta de perfil p.
Dados:
- o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;
- a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 22 – 2004, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância entre os planos paralelos α e β.
Dados:
- o plano α contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura à direita) com o eixo x;
- o plano β contém uma recta oblíqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (– 3; 0; 6).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 21 – 2004, 1.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projecções.
Dados:
- o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota;
- o ponto H é o traço horizontal da recta p;
- o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo a, cujos traços horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respetivamente,ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 20 – 2003, 2.ª Fase (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P à recta frontal f.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o traço horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
- a recta faz um ângulo de 30º (de abertura à direita) com o plano horizontal de projecção, medido no primeiro diedro.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 19 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 408)
Determine graficamente a distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano β13 tem 0 de abcissa e 7 de cota;
- o plano α intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, ambos, ângulos de 45º (de abertura para a direita) com o eixo x.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 18 – 2002, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto Q ao plano oblíquo α.
Dados:
- o ponto Q pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 5 de abcissa e 8 de cota;
- o plano α contém os pontos A (– 2; 3; 4), B (– 4; 5; 5) e C (– 6; 3; 8).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 17 – 2001, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados:
- o ponto P pertence ao plano frontal de projecção e tem – 8 de abcissa e 2 de cota;
- o plano α contém o ponto A (– 4; 2; 2) e intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
- o traço frontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 16 – 2001, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a verdadeira grandeza do segmento [XZ], cujos extremos são os pontos de intersecção da recta r com o plano bissector dos diedros ímpares e com o plano α.
Dados:
- a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares;
- a projecção frontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, intersecta o plano horizontal de projecção no ponto H (– 7; 10; 0);
- o plano oblíquo α intersecta o eixo x na origem das coordenadas;
- os traços horizontal e frontal do plano fazem, respetivamente e com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos de abertura para a direita.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 15 – 2000, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P (3; 5; 5) à recta oblíqua r.
Dados:
- a recta r, cuja projecção horizontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, pertence ao bissector dos diedros pares e intersecta o eixo x num ponto com – 2 de abcissa.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 14 – 1999, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P, com – 5 de abcissa e pertencente ao eixo x, ao plano oblíquo α.
Dados:
- o plano α é definido pelo ponto A (4; 5; 1) e pelo seu traço frontal, que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, intersectando-o no ponto X, com abcissa 4.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 13 – 1998, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância entre as rectas r e s.
Dados:
- a recta r é oblíqua, paralela ao bissector dos diedros ímpares, contém o ponto A (– 2; 4; 2) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º de abertura para a direita;
- o traço horizontal da recta s é o ponto H (– 6; 2; 0);
- a recta s é paralela à recta r.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 12 – 1997, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância de um ponto P a um plano oblíquo α.
Dados:
- o ponto P pertence ao eixo x e tem – 4 de abcissa;
- o plano α, que intersecta o eixo x 8 cm à esquerda de P, é definido pelo seu traço frontal, que faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x, e por uma recta horizontal n.
- a recta n faz um ângulo de 60º de abertura para a direita com o plano frontal de projecção, intersectando-o num ponto com 4 de cota.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 11 – 1997, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto P (2; 3; 4) a uma recta de perfil r que contém o ponto A (– 6; 2; 8) e é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 10 – 1994, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que constitui a distância do ponto P ao plano α.
Dados:
- o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem – 10 de abcissa e – 5 de cota;
- o plano α é passante pelo eixo x e contém o ponto M (– 2; 8; 3).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 09 – 1994, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto A ao plano α.
Dados:
- uma recta de maior declive do plano α é a recta d, cujas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos respetivamente de 45º com a abertura para a direita e 45º com abertura para a esquerda;
- o traço frontal da recta d é o ponto F (0; 0; 7);
- o ponto A tem as seguintes coordenadas: 4 de abcissa, 7 de afastamento e 6 de cota.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 08 – 1992, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que constitui a distância entre o ponto P (– 10; 8; 7) e o plano que contém os pontos A (– 1; 2; 8), B (– 6; 6; 5) e C (– 7; 1; 6).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 07 – 1987, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que representa a distância do ponto P à recta r.
Dados:
- o ponto P pertence ao eixo x e tem de abcissa – 3;
- a recta r pertence ao β24 e a sua projecção frontal faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 30º com abertura para a esquerda;
- a recta contém o ponto A (– 9; – 3; 3).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 06 – 1986, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância de um ponto P (4; 7; 6) a um plano α definido por uma das suas rectas de maior declive d.
Dados:
- o traço frontal da recta d é o ponto F (0; 0; 7);
- a projecção frontal da recta d faz com o eixo x, no semiplano frontal superior, um ângulo de 45º com a abertura para a direita e a projecção horizontal faz, também com o eixo x, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 45º com a abertura para a esquerda.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 05 – 1985, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento distância do ponto A (0; – 2; 4) ao plano α de rampa que passa pelo eixo x e contém o ponto B (3; 5; 1).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 04 – 1984, 2.ª Fase (código 121)
Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento que representa a distância do ponto P (– 4; – 1; – 8) a um plano de rampa passante que contém o ponto A (0; – 2; 3).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 03 – 1983, 1.ª Fase, 1.ª Chamada (código 121)
Determine as projecções e a distância do ponto J que pertence ao bissector dos diedros pares ao plano definido pelas rectas a e b.
Dados:
- a recta a é definida pelos pontos E e F, enquanto a recta b é definida por F e G;
- o ponto J tem 3 de cota;
- o ponto E tem afastamento nulo e 2 de cota;
- o ponto F tem 9,5 de afastamento e cota igual a 4,5;
- o ponto G tem 1,5 de afastamento e pertence ao bissector dos diedros pares;
- E0F0 = 2,5 cm, F0J0 = 2,5 cm, J0G0 = 3,5 cm (da esquerda para a direita).
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 02 – 1981, 2.ª Fase (código 121)
Determine a distância de um ponto X ao plano α, definido pelas rectas AB e BC.
Dados:
- o ponto X pertence ao plano bissector dos diedros ímpares e tem 10 de afastamento;
- o ponto A tem 6,5 de afastamento e 5 de cota;
- o ponto B tem 4,5 de afastamento e 6 de cota;
- o ponto C tem 7 de afastamento e 1 de cota;
- A0B0 = 2 cm, B0C0 = 2 cm, C0X0 = 4 cm;
- B0 situa-se à direita de A0, C0 à direita de B0 e X0 à direita de C0.
Problemas Métricos: Distâncias
EXERCÍCIO 01 – 1981, 1.ª Fase, 2.ª Chamada (código 121)
Determine a distância do ponto X ao plano α definido pelas rectas n e f concorrentes no ponto P.
Dados:
- o ponto P tem 2 de afastamento e 3 de cota;
- a recta n é horizontal e forma com o plano frontal de projecção um ângulo de 45º de abertura para a direita;
- a recta f é frontal e forma com o plano horizontal de projecção um ângulo de 30º de abertura para a esquerda;
- o ponto X tem 3 de afastamento, 5 de cota e a sua linha de chamada coincide com a linha de chamada do traço horizontal da recta frontal f.